los operadores en los espacios de Hilbert tienen adjuntos

Question

El siguiente es un teorema de las álgebras C* de Murphy y de la teoría de operadores:

En la última línea de prueba, afirma $u^*$ es lineal, pero creo que es lineal conjugada porque para $y_2,x_2\in H_2$ , $x_1\in H_1$ y $\alpha \in \Bbb C$ tenemos $$[u^*(\alpha x_2+y_2)](x_1) = (u x_1, \alpha x_2+ y_2)=[\bar \alpha u^*(x_2)+u^*(y_2)](x_1)$$ ¿Dónde está mi error? Por favor, ayúdenme. Muchas gracias.

Answer 1

$(x,u^*\alpha y)=(ux,\alpha y)=\bar\alpha(x,u^*y)=(x,\alpha u^*y)$ .