Demostrar para todos los reales: $a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3$

Question

El problema:

Demuestra esto para todos los reales $a,b,c$ :

$$a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3$$

Intento:

Estoy tratando de trabajar hacia atrás. $$a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3$$ $$(a+b+c)^2\geq 2(a+b+c)-3 + 2(ab+bc+ca)$$ $$(a+b+c)^2-2(a+b+c)\geq 2(ab+bc+ca)-3 $$ $$(a+b+c)(a+b+c-2)\geq 2(ab+bc+ca)-3 $$

Estoy atrapado aquí. Y necesito consejos.

Answer 1

Equivale a $$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 0%$$