¿Cuántos triples ordenados diferentes $(a,b,c)$ de enteros no negativos son tales que $a+b+c=50$ ?
He intentado enumerar las posibilidades pero la lista es demasiado larga, sé cómo encontrar los dobles ordenados $(x,y)$ tal que $x+y=50$ Sólo tengo que enumerarlas como:
$(0,50)\\(1,49)\\ \vdots\\(49,1)\\(50,0)$
Que es simplemente $(50-0)+1=51$ . Pero esto es demasiado largo para contarlo. ¿Supongo que hay una forma mejor de hacerlo?
Cualquier triple puede codificarse como una secuencia binaria de longitud $52$ que contiene exactamente $50$ ceros y dos unos de separación, escritos como $|\>$ : El número de ceros a la izquierda del primer $|$ es $a$ el número de ceros entre los dos $|$ es $b$ y el número de ceros a la derecha del segundo $|$ es $c$ .
Hay ${52\choose 2}=1326$ tales secuencias.
Digamos que tenemos 50 monedas idénticas y tenemos que distribuirlas en 3 mendigos. De forma similar a $$a+b+c=50$$ Podemos resolver este problema mediante combinaciones y permutaciones. [Intento este tipo de preguntas así]
Pruébalo.
El número de vías es $C_{2}^{52}=51\times 52/2=1326$ . que puede ser visto como hacer 2 líneas para dividir 50 monedas colocadas en una fila en 3 partes. Por lo tanto, hay 52 lugares para dibujar una línea de la que tenemos que elegir 2,[52 están incluyendo los extremos que crearán una parte vacía o solución para una variable=0;].
Hagamos esto simple.
Dados a y b, donde $a+b\leq 50$ y $a,b\geq 0$ , $c$ se define inmediatamente como $50-a-b$ y, por lo tanto, hay exactamente un triple para cualquier $a$ y $b$ .
Así que la pregunta es, ¿cuántas combinaciones de $a$ y $b$ existen bajo esas restricciones. Así que lo resolvemos. Si $a=50$ entonces $b=0$ es la única opción. Si $a=49$ entonces $b=0$ o $b=1$ . Para cualquier valor particular de $a$ , tienes que $b$ está limitado por $0\leq b\leq 50-a$ . Por tanto, el número total de valores de $b$ posible es $51-a$ . Y $0\leq a\leq 50$ . Así que el número de triples ordenados es
$$ \sum_{a=0}^{50} (51-a) = 51\cdot 51 - \frac{50\cdot 51}{2} = 26\cdot 51 = 1326 $$
Otra forma de hacerlo es utilizar funciones generadoras. Dado que hay 51 dígitos diferentes entre los que se puede elegir (de 0 a 50) en cualquiera de las posiciones dadas, podríamos pensar en esto como el polinomio sum(x^n, n=0...50) . Como estamos eligiendo tres de ellos, entonces expandimos (usando Maple/Wolfram Alpha), [sum(x^n, n=0...50)]^3 y buscar el coeficiente del término 50. ¡Ese coeficiente es 1326!
Hay otro método para hacer este problema. Dejemos que $x=a+1,y=b+1$ y $z=c+1$ Anota 53 como $1+1+1+\dots +1$
Ahora quitando 2 signos '+' cualesquiera y sustituyendo por una coma nos dará 3 enteros x,y,z tales que: $x+y+z=53$ y $a+b+c = x-1+y-1+z-1=50$
Número de formas de eliminar 2 signos "+" de 52 signos "+" = $\dbinom{52}{2}=1326$
Al generalizar encontramos que el número de soluciones a $(x_{1},x_{2},\dots,x_{r})$ tal que:
$x_{1}+x_{2}+\dots +x_{r}=n$ con $x_{i}>0$ $,\forall i:0\leq i\leq r$ es-
$\dbinom{n+r-1}{r-1}$
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