Razonamiento intuitivo ¿Por qué los quínticos no tienen solución?

Question

Sé que las quínticas en general son irresolubles, mientras que las ecuaciones de grado inferior son resolubles y la explicación formal es muy difícil. Me gustaría tener un razonamiento intuitivo de por qué es así, accesible a un estudiante brillante de bachillerato, o incluso por qué debería ser así. También he leído en alguna parte que cualquier $n$ -puede deprimirse a la forma $ax^n + bx + c$ . También me gustaría saber por qué o cómo ocurre esto, al menos para las ecuaciones de menor grado.

Sé que esta pregunta puede ser demasiado amplia y difícil, pero es una cosa que me ha preocupado mucho. Para ponerme en antecedentes, hace poco descubrí cómo resolver la cúbica y empecé con el cálculo, pero los cuárticos y superiores se me escapan.

EDIT: Se mencionó en los comentarios, que no todos los $n$ -puede deprimirse a la forma $ax^n + bx + c$ , aunque recuerdo haber leído algo parecido, de todas formas, quería averiguar lo mismo para los quínticos.

Answer 1

Por falta de modestia, voy a poner mis dos centavos como respuesta en lugar de como comentario, como han hecho otros más cualificados que yo. Sean las raíces de una ecuación A, B, C, etc. Se nos dice que la insolubilidad de la ecuación quíntica general está relacionada con la insolubilidad del grupo de Galois asociado, el grupo simétrico sobre cinco elementos. Creo que puedo decirles lo que esto significa a un nivel intuitivo.

Para tres elementos A, B y C, puede crear estas dos funciones:

AAB + BBC + CCA
ABB + BCC + CAA

Estas funciones tienen la interesante propiedad de que, independientemente de cómo se barajen las letras A, B y C, se obtienen las mismas funciones con las que se empezó. Puede que las inviertas (como ocurriría si simplemente intercambiaras A y B) o puede que ambas permanezcan en su sitio (como ocurriría si rotaras de A a B a C), pero en cualquier caso las recuperas.

Para cuatro elementos, ocurre algo similar con estas tres funciones:

AB + CD
AC + BD
AD + BC

No importa cómo reorganices A, B, C y D, recuperarás estas tres funciones. Puede que se reorganicen o puede que se queden en su sitio, pero en cualquier caso las recuperas.

Para cinco elementos, no existe tal grupo de funciones. Bueno, no exactamente... hay un par de funciones enormes que constan de sesenta términos cada una que funcionan, parecidas a las que dibujé para la ecuación cúbica... pero eso es todo. No hay grupos de funciones con tres o especialmente cuatro elementos, que es lo que realmente querrías.

(EDIT: También hay un conjunto de seis que se mapean entre sí bajo permutaciones, pero éstas tampoco te ayudan. Tuvimos un interesante seguimiento sobre Dummit's Resolvents en esta discusión aquí Resolvente de la Quintic...Funciones de las raíces )

Si intentas crear funciones sobre cinco letras con esta propiedad de simetría, te convencerás de que es imposible. Pero ¿cómo puedes pruebe ¿Es imposible? Probablemente necesites un poco de teoría de grupos para eso, que aún no he escrito de forma presentable (pero creo que podré). He escrito más sobre este tema en mi blog, en una serie de artículos que empiezan por aquí . Verás que lo dejé colgado a medias hace cosa de un año, pero creo que voy a terminarlo pronto.

Escuché el podcast que Christopher Ernst enlazó en los comentarios, y no me pareció muy bueno. Sí, se trata de las simetrías, pero que un tipo hable con acento inglés no significa que sea profundo. Ni siquiera estoy seguro de que lo que dijo sobre barajar cinco conjuntos de 24 elementos tenga sentido. En cualquier caso, cosas del nivel de las que habla Stewart ya se entendían mucho antes de Galois... Lagrange (más notablemente) había resuelto todas esas simetrías cincuenta años antes. Hay un artículo excepcionalmente bueno sobre estas cosas en un sitio web de una tal Fiona Brunk que puedes leer aquí .

EDIT: Voy a ampliar la respuesta que publiqué el otro día, porque creo que realmente he identificado la razón "intuitiva" por la que la quíntica es irresoluble, a diferencia de la razón "rigurosa" que implica mucha más teoría de grupos. Para la ecuación de tercer grado, identifiqué estas funciones:

AAB + BBC + CCA = p

ABB + BCC + CAA = q

A, B y C son las raíces de una cúbica, pero p y q son las raíces de una cuadrática. Puedes verlo porque si miras pq y (p+q), los polinomios simétricos elementales en p y q, verás que son simétricos en A, B y C. Así que son fácilmente expresables en términos de los coeficientes de nuestra ecuación cúbica original. Y por eso p y q son el peldaño que nos lleva a las raíces de la cúbica.

Del mismo modo, para el cuarto grado, identificamos estas funciones:

AB + CD = p

AC + BD = q

AD + BC = r

Se puede reescribir el párrafo anterior palabra por palabra, pero basta con subir todo un grado, y sigue siendo cierto. A, B, C y D son las raíces de un cuártico, pero p,q y r son las raíces de un cúbico. Puedes ver que deben serlo porque si miras los polinomios simétricos elementales en p, q y r, verás que son simétricos en A, B, C y D. Así que son fácilmente expresables en términos de los coeficientes de nuestra ecuación cuártica original. Y por eso son el trampolín que nos lleva a las raíces del cuártico.

Y la razón intuitiva por la que la ecuación de quinto grado es irresoluble es que no existe un conjunto análogo de cuatro funciones en A, B, C, D y E que se conserve bajo permutaciones de esas cinco letras. Como he mencionado antes, creo que Lagrange comprendió esto intuitivamente cincuenta años antes que Galois. Probablemente necesitó un poco más de teoría de grupos para hacerlo completamente riguroso, pero esa es otra cuestión.

Creo que Lagrange habría entendido los trucos algebraicos por los que se pasa de, digamos, A B y C a p y q. Se trata de tomar funciones lineales que mezclan A B y C con las raíces cúbicas de la unidad y examinar el cubo de esas funciones. Es un proceso reversible, así que puedes trabajar hacia atrás en el otro sentido (tomando raíces cúbicas de funciones en p y q) para resolver la cúbica. Un truco muy similar funciona para el cuarto grado. Creo que Lagrange fue capaz de demostrar de forma concluyente que el mismo truco no funciona para el quinto grado... esa es la prueba "intuitiva". La prueba "rigurosa" habría tenido que demostrar que, en ausencia de los trucos obvios (análogos a los de los grados 3 y 4), no había ningún otro truco posible que se te pudiera ocurrir.

Answer 2

Es importante comprender que Abel y Galois resolvieron problemas algo diferentes al tratar con ecuaciones quínticas. Abel se ocupaba siempre del caso más sencillo de un polinomio general de quinto grado con coeficientes simbólicos, mientras que Galois se ocupaba del caso más general en el que los coeficientes podían ser numéricos.

Leí el tratamiento de Abel (con alguna simplificación hecha por autores posteriores) en el maravilloso libro Teoría de Galois de ecuaciones algebraicas por Jean Pierre Tignol. La idea que subyace a la prueba es comprender la relación entre raíces y coeficientes, centrándose en que las raíces son entidades más complicadas que los coeficientes. Es fácil establecer las expresiones de los coeficientes en términos de raíces (funciones simétricas elementales), pero hacer lo contrario es difícil. La prueba de Abel de la insolubilidad de una quíntica general tiene dos ingredientes principales:

• Si una raíz puede expresarse como una expresión radical en términos de coeficientes (y los radicales pueden estar anidados), entonces los bloques de construcción de esta complicada expresión (es decir, los radicales más internos), así como las expresiones intermedias, pueden expresarse como funciones racionales de las raíces utilizando raíces de la unidad. Esta es una parte no trivial de la prueba, pero se basa en la manipulación algebraica y no se ocupa de cualquier cosa permutación.
• La expresión radical de los coeficientes (que son funciones racionales de las raíces a través del primer punto anterior) conservan cierto grado de simetría bajo la permutación de las raíces, sin importar cuántos niveles de radicales anidados estén involucrados y, por lo tanto, no se pueden utilizar para expresar las raíces que son totalmente no simétricas. En general, el proceso de formación de radicales pierde cierta cantidad de simetría, pero si el número de variables implicadas es $5$ o más, siempre se mantiene cierta simetría.

Para elaborar el segundo punto, la expresión $(a-b) ^{2}$ es simétrico en $a, b$ pero si se toma la raíz cuadrada se obtiene $a-b$ o $b-a$ y ambos no son simétricos en $a, b$ . Por tanto, tomar raíces cuadradas o $n$ Las raíces rompen la simetría. Pero si tenemos una función simétrica racional digamos $f(a, b, c, d, e) $ de cinco variables y si el $n$ raíz $\sqrt[n] {f(a, b, c, d, e)} $ también puede expresarse como una función racional $g(a, b, c, d, e) $ entonces $g$ no es totalmente no simétrica, es decir, hay algunas permutaciones de las variables que no modifican esta expresión. Y esto ocurre por muy complicadas que sean las expresiones radicales que generemos mediante anidamiento. Este hecho se puede demostrar sin mucho esfuerzo y es bastante más sencillo de entender que estudiar la teoría de Galois. He presentado los detalles con pruebas en mi entradas de blog .

Answer 3

La razón más sencilla e intuitiva que he visto hasta ahora era:

porque, cuando tienes 5 o más cosas ( raíces, letras, entonces las formas en que puedes permutar esas cosas ya no pueden ser "factorizadas" en permutaciones más pequeñas que producirán el mismo reordenamiento, incluso cuando se combina que permutat otros formas de permutar esos 5 o m Así que para 5 y más cosas, no hay factorizabilidad agradable.

En otras palabras, si tienes cuatro cosas o menos, siempre puedes "factorizar" esas permutaciones en dos partes:

1. esas permutaciones que cuando las combinas con cualquier permutación de la parte 2 obtienes la misma permutación independientemente de si hiciste la primera permutación en segundo lugar o la segunda permutación en primer lugar, y
2. las permutaciones que cambian al combinarse con otras permutaciones, según el orden en que se combinen

Entonces, tener esta bonita estructura "factorizable" de las permutaciones permite "factorizar" el polinomio y escribir una bonita fórmula en operaciones sencillas. Cuando el número de cosas llega a 5 o a un número mayor, las formas de permutarlas ya no tienen esta propiedad. Así que no puedes encontrar ninguna manera fácil de escribirlas con operaciones simples.

Deja de leer aquí si no quieres nada más "matemático" que esto.

Si quieres la forma más "matemática" de decirlo, es que para el grupo de permutaciones de 5 o más cosas, no hay subgrupos normales (grupos de permutaciones que producen el mismo orden independientemente de si hiciste esa permutación primero, o la permutación combinatoria primero). Cuando no hay subgrupos normales, los matemáticos llaman a esta situación "simple", como en "esto es un grupo simple" (cuando en realidad es más complejo, así que los matemáticos son obviamente demasiado complejos).

Si quieres la forma "aún más matemática" de decirlo, es que $A_5$ es el grupo simple más pequeño, pero que $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ y $A_4$ todos tienen buenos subgrupos normales que puedes factorizar, lo que te permite encontrar una buena ecuación para resolver x en una ecuación lineal, cuadrática, cúbica o cuártica.

Si desea una referencia básicamente incomprensible, disfrute visitando esta entrada de la Wiki sobre $A_5$ .

Answer 4

@Sawarnik, ¿a qué te refieres exactamente cuando escribes que "la explicación formal es muy difícil"? En realidad, la idea básica es bastante sencilla. He echado un vistazo a los comentarios anteriores y ninguno parece mencionar el grupo simple no abeliano más pequeño, que resulta ser el grupo $A_5$ de orden $60$ . Este grupo no está incluido en ningún $S_n$ para $n\leq 4$ lo que implica que todas ellas son resolubles, o equivalentemente cualquier ecuación de orden $\leq 4$ tiene solución. La solubilidad del grupo corresponde a la solubilidad en radicales del polinomio. Por lo tanto, el grado más bajo de un polinomio que permite tener un grupo de Galois simple es $5$ .