la segunda derivada de una función es igual a una potencia de dicha función

Question

¿Es posible encontrar una expresión para $f(x)$ para que:

$$f''(x) = (f(x))^{-2}$$

y

$$f(0) = 1$$

Sospecho que no existe tal expresión, pero puedo estar equivocado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Multiplicar por $f^\prime$ se obtiene $$f^\prime f^{\prime\prime}=f^\prime f^{-2},$$ es decir $$\frac{d}{dx}\frac12(f^\prime)^2=\frac{d}{dx}(-f^{-1}),$$ Integrar ambas partes para obtener $\frac12(f^\prime)^2=-f^{-1}+c.$ Por lo tanto, $f'=\pm \sqrt{2c-2f^{-1}}$ .

Answer 2

Uno puede tomar el camino difícil y dejar $$f(x) = 1 + a_{1} x + a_{2} x^2 + a_{3} x^3 + a_{4} x^4 + \cdots,$$ desde $f(0) = 1 = a_{0}$ , de tal manera que $$\begin{align} 1 &= f^2 \, f'' = (1 + a_{1} x + a_{2} x^2 + a_{3} x^3 + a_{4} x^4 + \cdots)^2 \cdot (2 a_{2} + 6 a_{3} x + 12 a_{4} x^2 + \cdots) \\ &= (1 + 2 a_{1} x + (2a_{2} + a_{1}^2) x^2 + \cdots) \cdot (2 a_{2} + 6 a_{3} x + 12 a_{4} x^2 + \cdots) \\ &= 2 a_{2} + 2(2 a_{1} a_{2} + 3 a_{3} ) x + 2 (6 a_{4} + 6 a_{1} a_{2} + a_{1}^2 a_{2} + a_{2}^3) x^2 + \cdots. \end{align}$$ Al igualar las ecuaciones de los coeficientes se obtiene $$\begin{align} f(x) &= 1 + a_{1} x + \frac{x^2}{2!} - 2 a_{1} \, \frac{x^3}{3!} + \left( 6 a_{1}^2 - \frac{1}{2} \right) \, \frac{x^4}{4!} + a_{1} \, (13 - 24 a_{1}^2) \, \frac{x^5}{5!} \\ & \hspace{10mm} + ( 30 \, a_{1}^{2} \, (4 a_{1}^{2} - 5) + 1) \, \frac{x^6}{6!} + \cdots. \end{align}$$ Se pueden obtener más términos considerando más términos. Aquí $a_{1}$ es arbitraria a menos que se aplique otra condición. Puede ser interesante que si $a_{1} = 0$ o $f'(0) = 0$ la función $f(x)$ es una función par dada por $$f(x) = 1 + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{1}{2} \, \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!} + \mathcal{O}\left(\frac{x^{8}}{8!}\right).$$

Answer 3

Esto es demasiado largo para un comentario.

Utilizando $$\dfrac{d^2x}{dy^2}=-\frac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3}$$ la ecuación diferencial se convierte en $$\frac{x''}{(x')^3}+\frac{1}{y^2}=0\tag 1$$ y éste puede integrarse llevando a un resultado muy feo.

Reducción del pedido $(z=x')$ Esto lleva a $$\frac{z'}{(z)^3}+\frac{1}{y^2}=0$$ lo que lleva a $$z=\pm\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2} \sqrt{c_1 y-1}}$$ Integrar una vez más $$x=\pm \frac{\sqrt{c_1} \sqrt{y} \sqrt{c_1 y-1}+\log \left(c_1 \sqrt{y}+\sqrt{c_1} \sqrt{c_1 y-1}\right)}{\sqrt{2} c_1^{3/2}}+c_2$$

Pruebe con Wolfram Alpha para ver lo frustrante que es el resultado usando $(1)$ .