Curvas diferenciables en $\mathbb{R^n}$ cuyas entradas son polinomios de grado $\leq k$

Question

Estaba resolviendo el siguiente problema: demostrar que toda curva regular en $\mathbb{R^3}$ cuyas entradas son polinomios de grado menor o igual a 2 es una curva plana. Si establecemos $\alpha(t) = (at^2 + bt + c, dt^2 + et + f, gt^2 + ht + q )$ es fácil encontrar la ecuación del plano que las contiene considerando $\alpha(0), \alpha(1), \alpha(-1)$ y luego probar $\alpha$ está contenida en ese plano. Sin embargo, esto supone bastante trabajo y no es en absoluto una solución elegante.

Una pregunta curiosa que se hizo al final del ejercicio fue "¿Es toda curva diferenciable en $\mathbb{R^n}$ cuyas entradas son polinomios de grado $\leq k$ contenida en un subespacio de $\mathbb{R^n}$ con dimensión $\leq k$ ? Dependiendo de cómo hayas resuelto el problema anterior, la respuesta podría ser obvia".

Answer 1

Veo que estás estudiando por los ejercicios que di en esa clase de DG en 2016. La respuesta a la pregunta que hice al final se reduce a una palabra: "Taylor". Si todas las entradas de la curva son polinomios de grado a lo sumo $k$ entonces $$\alpha(t) - \alpha(0) = \sum_{i=1}^k \frac{t^i}{i!}\alpha^{(i)}(0),$$ y así el rastro de $\alpha$ está contenida en la variedad afín $\alpha(0) + {\rm span}(\alpha'(0),\ldots,\alpha^{(k)}(0))$ . Dije allí "dimensión como máximo $k$ "porque no sabemos nada sobre la independencia lineal de las derivadas de $\alpha$ en $0$ .