Supongamos que $X$ es una variedad proyectiva suave y $U$ es un subconjunto abierto cuyo complemento es de codimensión dos. Si un grupo finito $G$ actúa sobre $U$ ¿se extiende siempre a $X$ ?
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Vagish
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No, no siempre se extiende. Por ejemplo, dejemos que $X\subset \mathbb{A}^4\times \mathbb{P}^1$ sea el subconjunto cerrado de puntos $((x_0,x_1,x_2,x_3),[Y_0,Y_1])\in \mathbb{A}^4\times \mathbb{P}^1$ tal que $$x_0x_3-x_1x_2 = x_1Y_0-x_0Y_1=x_3Y_0-x_2Y_1=0.$$ Esta es suave de dimensión 3 (es una de las dos pequeñas resoluciones de un triple $A_1$ singularidad). Consideremos el subconjunto abierto $U$ donde $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ no es $(0,0,0,0)$ . La proyección $$\text{pr}_{\mathbb{A}^4}:U\to \mathbb{A}^4\setminus\{(0,0,0,0)\},$$ define un isomorfismo de $U$ con el subconjunto (relativamente) cerrado $V$ definido por $x_0x_3-x_1x_2=0$ . En particular, el mapa inducido $$\text{pr}_{\mathbb{P}^1}\circ \text{pr}_{\mathbb{A}^4}^{-1}:V\to U \to \mathbb{P}^1,$$ es el único morfismo tal que ambos $x_1Y_0-x_0Y_1=0$ y $x_3Y_0-x_2Y_1=0$ aguantar.
El complemento de $U$ tiene codimensión $2$ . Ahora dejemos que $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ actuar $V$ por $(x_0,x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_0,x_2,x_1,x_3)$ . A través del isomorfismo $U\to V$ Esto induce una acción de $G$ en $U$ . No hay forma de extender esto a una acción sobre todos los $X$ . Esencialmente, esto se debe a que no hay ninguna acción de $G$ en $\mathbb{P}^1$ tal que $\text{pr}_{\mathbb{P}^1}\circ \text{pr}_{\mathbb{A}^4}^{-1}$ es $G$ -equivariante.
