Si $\lim A_n$ existe, entonces $P(\lim A_n) = \lim P(A_n)$

Question

Dada una secuencia $\{A_n\}$ de eventos con $\lim A_n = A$ Me gustaría demostrar que $P(\lim A_n) = \lim P(A_n)$ .

$\lim A_n = A$ implica que $\limsup A_n = A$ . Así, $\bigcap \bigcup_{k=n}^{\infty}A_k=A$

Dejemos que $B_n=\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k$ por cada $n$ . Entonces $B_n$ no es creciente. Lo tenemos:

$P(\lim A_n) = P(A) = P(\bigcap \bigcup_{k=n}^{\infty}A_k)=P(\bigcap B_n) = \lim P(B_n)$ desde $B_n$ que no aumenta. Así, $P(\lim A_n) = \lim P(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k))$ .

¿Cómo puedo pasar de aquí a $\lim P(A_n)$ ?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Desde $\bigcap_{k\geq n} A_k$ es una secuencia creciente de eventos, $P(\limsup_n A_n) = \lim_n P(\bigcap_{k\geq n} A_k)$ .

Desde $\bigcup_{k\geq n} A_k$ es una secuencia decreciente de eventos, $P(\liminf_n A_n) = \lim_n P(\bigcup_{k\geq n} A_k)$ .

Desde $\lim_n A_n = \liminf_n A_n = \limsup_n A_n$ , $P(\lim_n A_n) = P(\liminf_n A_n) = P(\limsup_n A_n)$ .

Pero para todos $n$ , $P(\bigcap_{k\geq n} A_k)\leq P(A_n)\leq P(\bigcup_{k\geq n} A_k)$ así que apretando, $P(A_n)$ converge a $P(\lim_n A_n)$ .

Answer 2

TL;DR Las otras respuestas parecen reinventar la rueda. Sólo hay que usar el Lemma de Fatou

$$P(\liminf A_n) \le \liminf P(A_n) \le \limsup P(A_n) \le P(\limsup A_n)$$

• Nota para justificar : Realmente quiero decir que espero que a estas alturas el alumno conozca las desigualdades anteriores conocidas colectivamente el Lemma de Fatou (y el Lemma de Fatou inverso y el regular $\limsup$ y $\liminf$ de los números reales en el cálculo). Tal vez el estudiante también conozca la versión de integración del Lemma de Fatou en la teoría de la medida, pero no espero que el estudiante conozca el Lemma de Fatou en este sentido (y por lo tanto, por supuesto, en el sentido de la expectativa. En consecuencia, tampoco espero que el alumno utilice o conozca $E[1_A]=P(A)$ ).

• Edición: Para mayor justificación , véase más abajo.

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1. En realidad, lo que primero tenemos que demostrar es que $\lim P(A_n)$ existe, es decir $\liminf P(A_n) = \limsup P(A_n)$ y entonces definimos este valor común como $\lim P(A_n)$ . Entonces

2. El lema de Fatou dice

$$P(\liminf A_n) \le \liminf P(A_n) \le \limsup P(A_n) \le P(\limsup A_n)$$

3. Ahora bien, al decir $\lim A_n$ existe" significa $\liminf A_n = \limsup A_n$ ' y luego definimos este valor común como $\lim A_n$ .

4. Entonces

$$P(\lim A_n) \le \liminf P(A_n) \le \limsup P(A_n) \le P(\lim A_n)$$

5. Por lo tanto, $\liminf P(A_n) = \limsup P(A_n)$ es decir $\lim P(A_n)$ existe

6. Finalmente, $P(\lim A_n) = \liminf P(A_n) = \limsup P(A_n) =: \lim P(A_n)$

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Editar : Para el Nota arriba y el comentario de Gabriel Romon:

Compruebe usted mismo que en el libro de David Williams Probabilidad con Martingales, puede demostrar el Lemma de Fatou sin ningún conocimiento de la integración teórica de la medida (Lebesgue).

Answer 3

Una forma muy útil de pensar en esto es verificar que $A=lim A_n$ existe si $I_A=\lim I_{A_n}$ en cada punto. Si conoces el DCT, entonces tienes $P(A)=\lim P(A_n)$ inmediatamente.

Answer 4

Yo añadiría la estipulación de que si $\lim A_n = A$ entonces $P$ debe definirse en $A$ de lo contrario, la afirmación no es cierta. El hecho de que $\lim A_n=A$ y $P(A_n)$ existe, $\forall n\in\mathbb{N}^+$ no requiere de ninguna manera que $P(A)$ existe.

Por ejemplo, dejemos que $A_n = e^{-n}$ . Así, $\lim A_n=A=0$ . Sea $P(n) = \ln(n)$ . Aunque $P(A_n)$ se define $\forall n\in\mathbb{N}^+$ , $P(A)$ claramente no lo es.

No me di cuenta hasta tarde de que esto estaba etiquetado para la teoría de la probabilidad. No estoy seguro de que sea relevante; las reglas de las matemáticas se aplican de cualquier manera, pero son más restrictivas. Mi ejemplo de $P(n)=e^{-n}$ o más bien el análogo continuo $P(x)=e^{-x}$ es una función de densidad de probabilidad perfectamente legítima.

Por favor, corregidme si me equivoco en algo de esto. Mis disculpas si he entendido mal su pregunta.