Matriz de búsqueda $T$ en relación con la base

Question

Dejemos que $ T : P_2(\mathbb{R}) \to P_2(\mathbb{R})$ sea el mapa lineal definido por $T(ax^2 +bx+c)=(a+b)x^2 +(b+c)x+(a+c)$ . Encuentre la matriz para $T$ en relación con la base $B = \{x^2, x, 1\}$ (utilizando la misma base $B$ para el dominio y el codominio (o "espacio objetivo") de $T$ ).

Mi problema: No puedo entender cómo encontrar la matriz $T$ cuando hay variables mezcladas con $x$ .

Answer 1

Los polinomios de grado 2 son un espacio vectorial abstracto que es isomorfo al espacio vectorial $\mathbb R^3$

El vector columna $\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}$ es la representación del polinoimal $ax^2 + bx+ c$ con respecto a la base $\{x^2, x, 1\}$

Eso es todo $x^2$ términos estarán en la primera entrada, todos los $x$ Los términos de la constante irán en la segunda entrada, y todos los términos de la constante irán en la tercera entrada.

Si esto te resulta extraño, demuestra que los polinomios cumplen todos los axiomas de los espacios vectoriales.

$T$ es una transformación que toma $(a,b,c)$ a $(a+b, b+c, a+c)$

Existe alguna matriz $T$ tal que $T\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} = \begin{matrix} (a+b)\\(b+c)\\a+c \end{matrix}$

Lo que la matriz $T$ ?

$T = \begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}$

Answer 2

HINT

En forma vectorial en la base $B = \{x^2, x, 1\}$ tenemos que

$$T(a,b,c)\to(a+b,b+c,a+c)$$

así

$$M_T=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$