El título puede ser engañoso, pero lo que me desconcierta del siguiente problema es si esa función existe:
Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua tal que para todo $a<b $ satisfaciendo $f(a)=f(b)$ existe $c$ en $(a,b)$ tal que $f(a)=f(c)=f(b)$ .
Demostrar que $f$ es monótono en $\mathbb{R}$ .
Lo que intuyo sobre este problema es que para cada par de este tipo $a, b$ la función f es constante en $[a,b]$ . Por lo tanto, $f$ podría no tener un extremo local. Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrarlo. ¿Es el conjunto $X=\{x\in [a,b]| f(x)=f(a)\}$ ser denso en $[a,b]$ ? Si es así, ¿cómo podría probarlo? Pero lo que también me preocupa es la existencia de funciones no monótonas en ninguna parte, como la función de Weierstrass. ¿Satisface la función de Weierstrass la condición del problema?
Además, me gustaría poder demostrar que una línea horizontal arbitraria $g(x)=u, u \in \mathbb{R}$ o bien interseca a f en un único punto, o bien en un intervalo compacto $[a_{1},b_{1}]$ $(a_{1}<b_{1})$ .
No estoy seguro de que estas dos condiciones sean suficientes para demostrar que la función es monótona.
¿Cuál es el mejor enfoque para probar este problema? ¿Estoy en el camino correcto?
