La prueba de $H^k(X,\mathbf k) = H^k(X,\mathbb Z) \otimes \mathbf k$

Question

Deje $X$ ser un equipo compacto colector y denotan $H^k(X,G)$ $k$- th cohomology grupo con coeficientes en el grupo abelian $G$.

El uso de Cech cohomology se puede probar que existe un isomorfismo natural $ H^k(X,\mathbf k) \simeq H^k(X,\mathbb Z) \otimes \mathbf k$ por cada campo de $\mathbf k$ de los característicos $0$ (ver por ejemplo el libro "Teoría de Hodge y Compleja Geometría Algebraica I", C. Voisin p 157.)

Es allí una manera a prueba de este hecho sin el uso de gavilla-cohomology? He mirado alrededor de un "Universal Coeficiente Teorema" para cohomology, pero el único que sabemos se relaciona con $H^k(X,\mathbf k)$$H_k(X,\mathbb Z)$$H_{k-1}(X,\mathbb Z)$, pero no con $ H^k(X,\mathbb Z) $.

Answer 1

Si $S_{\bullet}$ es el singular complejo de cadena para $X$, luego $H^i(X,A)$ es calculado por el cochain compleja $Hom(S_{\bullet},A)$. Ahora no es natural mapa de $Hom(S_{\bullet},\mathbb Z) \otimes k \to Hom(S_{\bullet},k),$ y de ahí, pasar a cohomology, un mapa $$H^{\bullet}(X,\mathbb Z)\otimes k \a H^{\bullet}(X,k).$$ Este no será un isomorfismo para arbitrario de espacios de $X$. (E. g. si $X$ es sólo un discontinuo de la unión de un conjunto $I$ de los puntos, entonces esta es la natural mapa de $(\mathbb Z^I)\otimes k \to k^I$, que no es un isomorfismo en general si $I$ es infinito.)

Sin embargo, si la homología de grupos de $X$ $\mathbb Z$- coeficientes son finitely generado, entonces este va a ser un isomorfismo, como se desprende de la universal coeficiente teorema de cohomology que usted menciona en su pregunta. (Utilice el hecho de que el universal coeficiente de corta secuencia exacta es natural en $A$; $Ext(H_{i-1},A)$ es de torsión al $A = \mathbb Z$ --- desde $H_{i-1}$ es f.g. por supuesto, - - - y desaparece cuando $A = k$, ya que el $k$ es de tipo char. cero; y que $Hom(H_i,\mathbb Z)\otimes k \cong Hom(H_i,k)$, ya que el $H_i$ es f.g.)

Para un compacto de colector de la homología de grupos f.g., y así, el resultado de la siguiente manera.