Tengo problemas para entender un dato muy sencillo del libro de DoCarmo "Geometría Riemanniana". En la página 73 calcula las geodésicas del plano hiperbólico: $$ \mathbb{R}^+_2 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^² :y>0 \} \qquad g_{ij}= y^{-2} \delta_{ij} $$ Para ello considera la curva $\gamma(t)=(0,t)$ que es una geodésica. Pero cuando considero las ecuaciones de las geodésicas no obtengo esta conclusión.
Los símbolos de Cristoffel para el plano hiperbólico con esta métrica son:
$$\Gamma^x_{xx}=\Gamma^y_{xy}=\Gamma^x_{yy}=0 \quad \Gamma^y_{xx}=\frac{1}{y} \quad \Gamma^x_{xy} = \Gamma^y_{yy} = -\frac{1}{y}$$
Y luego las ecuaciones de las geodésicas:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{1}{y}\frac{dx}{dt} \frac{dy}{dt} = 0 $$ $$ \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{1}{y} \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 - \frac{1}{y} \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = 0$$
Entonces, cuando considero la curva dada, ésta satisface la primera ecuación pero no la segunda. ¿Qué me falta aquí?
