Subgrupos de RAAGs frente a subgrupos de RACGs

Question

¿Es un subgrupo (finitamente generado) libre de torsión de un grupo Coxeter rectangular isomorfo a un subgrupo de un grupo Artin rectangular?

Es bien conocido por la teoría de los complejos cúbicos especiales que un subgrupo $H$ de un grupo Coxeter de ángulo recto $G$ contiene un subgrupo de índice finito isomorfo a un subgrupo de un grupo de Artin de ángulo recto (por ejemplo $H \cap [G,G]$ ), pero ¿es cierto para todo el grupo si suponemos además que $H$ ¿es libre de torsión?

La dificultad a la hora de aplicar la teoría de los complejos cúbicos especiales proviene del hecho de que la acción inducida de $H$ en el complejo cúbico habitual CAT(0) $X$ de $G$ puede invertir los hiperplanos (es decir, algunas isometrías pueden estabilizar un hiperplano e intercambiar sus semiespacios). Esto puede evitarse sustituyendo $X$ con su subdivisión baricéntrica, pero entonces las inversiones de los hiperplanos producen auto-osculaciones (es decir, existe un elemento $h \in H$ y un hiperplano orientado $\vec{J}$ tal que $\vec{J}$ y $g \vec{J}$ contienen dos aristas orientadas que se cruzan apuntando a su vértice común y que no abarcan un cuadrado).

NB: En toda la cuestión, los grupos rectangulares de Artin/Coxeter están generados finitamente. Recordemos que, dado un gráfico simplicial (finito) $\Gamma$ el grupo Coxeter rectángulo asociado está definido por la presentación $$\langle u \in V(\Gamma) \mid u^2=1 \ (u \in V(\Gamma)), \ [u,v]=1 \ (\{u,v\} \in E(\Gamma)) \rangle$$ y el grupo de Artin asociado en ángulo recto por la presentación $$\langle u \in V(\Gamma) \mid [u,v]=1 \ (\{u,v\} \in E(\Gamma)) \rangle$$ donde $V(\Gamma)$ y $E(\Gamma)$ denotan respectivamente los conjuntos de vértices y aristas de $\Gamma$ .

Answer 1

El grupo fundamental de la superficie cerrada (no orientable) de característica de Euler -1 proporciona un contraejemplo.

Por un lado, es un subgrupo de índice 4 en el grupo de reflexión del pentágono rectángulo, por lo que se incrusta en un RACG, y por supuesto es libre de torsión.

Por otro lado, Crisp-Wiest demostró que nunca se incrusta en un RAAG.

Answer 2

Por fin he encontrado un ejemplo elemental: $$BS(1,-1):= \langle x,y \mid yxy^{-1}=x^{-1} \rangle.$$ Se integra en $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{D}_\infty$ que a su vez se incrusta en el grupo Coxeter de ángulo recto $\mathbb{D}_\infty \oplus \mathbb{D}_\infty$ . De hecho, si $\mathbb{Z} = \langle t \mid \ \rangle$ y $\mathbb{D}_\infty = \langle a,b \mid a^2=b^2=1 \rangle$ entonces $\langle ab,ta \rangle$ es isomorfo a $BS(1,-1)$ .

Pero $BS(1,-1)$ no se incrusta en un grupo de Artin de ángulo recto. Para ver esto, se puede utilizar un teorema debido a Baudisch que afirma que un $2$ -en un grupo de Artin de ángulo recto es abeliano o libre. También se puede utilizar el hecho de que los grupos de Artin en ángulo recto son bi-ordenables, lo que no es el caso de $BS(1,-1)$ : si $x>1$ entonces $x^{-1}=yxy^{-1}>yy^{-1}=1$ por lo que $x<1$ .