Duda en encontrar el término general y la suma de $n$ términos de la serie $1+5+19+49+101+181+295+\dots+T_n$ ?

Question

La siguiente imagen contiene tanto el problema como su solución. Tengo una duda en la solución, cuyos detalles he incluido debajo de la imagen.

Aquí, el autor ha asumido $T_n$ como una ecuación cúbica arbitraria (Paso indicado por el cuadro ROJO).

Mi duda es, ¿por qué la ha asumido como una ecuación cúbica y no como una ecuación cuadrática o bicuadrática o de cualquier otro grado?

Por favor, aclare mi duda.

Answer 1

Realmente deberían haber continuado un paso y computar el tercera diferencias: $$ 6, 6, 6, \ldots $$ (que es lo que intentan transmitir con el escueto y algo críptico comentario de "claramente es un A.P.").

Una secuencia que tiene constante tercera diferencias viene dada por un tercera polinomio de grado.

(Por supuesto, no hay garantía de que las terceras diferencias continuar para ser constante en el " $\ldots$ " parte de la secuencia, pero se puede decir que es lo mejor que se puede hacer con los limitados conocimientos que hay).

Answer 2

Por Fórmula de la diferencia de avance de Newton , si $\Delta^k a_n=0$ para $k\geq 4$ es decir, las cuartas diferencias son idénticas a cero (o las terceras diferencias son constantes) entonces $$a_n=a_1 + \binom{n-1}{1}\Delta^1 a_1 + \binom{n-1}{2}\Delta^2 a_1 + \binom{n-1}{3}\Delta^3 a_3 $$ que es un polinomio de tercer grado. En su caso, las terceras diferencias son
$6,6,6,\dots$ Por lo tanto, tenemos $$a_n=1 + \binom{n-1}{1}4 + \binom{n-1}{2}10 + \binom{n-1}{3}6=1-n^2+n^3.$$

Answer 3

Respuesta corta: Sabemos que el $k$ de cualquier secuencia polinómica de orden $k$ es constante. De ello se deduce que si el $k$ de una cierta secuencia dada son constantes, entonces la secuencia debe ser una secuencia polinómica de orden $k.$

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Pues bien, para ver por qué es cierta la propiedad en cuestión, observemos que dada una secuencia cualquiera podemos pensar en ella como una secuencia de sumas parciales de otra secuencia, que podemos encontrar tomando las primeras diferencias de la secuencia dada. Por otro lado, a partir de una secuencia dada podemos formar una secuencia de diferencias y observa que si realizamos estas dos operaciones consecutivamente sobre la misma secuencia, entonces son procesos (casi) inversos, al igual que los procesos continuos de diferenciación e integración.

Así, si entendemos las diferencias sucesivas de secuencias definidas por polinomios, pronto veremos que la inversa (tomar sumas parciales) deshace esencialmente la diferenciación. Si ahora investigamos esto en general, encontraremos que es así.

Sólo lo haré para las sucesiones cuadráticas, pero la misma idea se puede generalizar. Sea una secuencia definida por $$an^2+bn+c,$$ entonces el $n+1$ Los términos son los siguientes $$a(n+1)^2+b(n+1)+c,$$ y por lo tanto tenemos las diferencias para ser $$\Delta=a[(n+1)^2-n^2]+b[(n+1)-n]=a(n+1-1)(n+1+1)+b=a(2n+1)+b,$$ que es una secuencia lineal, que ya deberías saber que tiene diferencias constantes. Por lo tanto, se deduce que si realizamos la operación inversa de sumar una secuencia lineal, obtenemos una cuadrática.

Se puede hacer esto con un polinomio de grado arbitrario, y entonces el resultado se sigue por inducción. De hecho, basta con demostrarlo sólo para el $k$ polinomio de grado 3 $n^k.$ Y la primera diferencia s viene dada por $$\Delta = (n+1)^k-n^k=(n+1-n)((n+1)^{k-1}+(n+1)^{k-2}n+\cdots+(n+1)n^{k-2}+n^{k-1})=(n+1)^{k-1}+(n+1)^{k-2}n+\cdots+(n+1)n^{k-2}+n^{k-1}),$$ donde se ha utilizado la conocida factorización $$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+\cdots +ab^{m-2}+b^{m+1}).$$ Entonces ahora se induce en $k.$

Answer 4

Se da: $$1,5,19,49,101,...,T_{n-3},T_{n-2},T_{n-1},T_n,...$$ Ahora encontramos: $$1) \quad 5-1,19-5,49-19,101-49,...,\color{red}{T_{n-2}-T_{n-3}},\color{green}{T_{n-1}-T_{n-2}},\color{blue}{T_n-T_{n-1}},...\\ 2) \quad 14-4,30-14,52-30,...,(\color{green}{T_{n-1}-T_{n-2}})-(\color{red}{T_{n-2}-T_{n-3}}),(\color{blue}{T_n-T_{n-1}})-(\color{green}{T_{n-1}-T_{n-2}}),...\\ 3) \quad 6,6,...,[(\color{blue}{T_n-T_{n-1}})-(\color{green}{T_{n-1}-T_{n-2}})]-[(\color{green}{T_{n-1}-T_{n-2}})-(\color{red}{T_{n-2}-T_{n-3}})]=6 \Rightarrow \\ T_n-3T_{n-1}+3T_{n-2}-T_{n-3}=6,T_1=1,T_2=5,T_3=19,$$ que es un relación de recurrencia , cuyo solución es: $$T_n=n^3-n^2+1.$$