He leído que el término de masa que aparece en la lagrangiana electrodébil impide que ésta (la lagrangiana) se convierta en invariante gauge. Puede alguien explicar dónde y por qué este término está creando el problema?
Respuesta
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Supongamos un término de masa fermiónico típico (los leptones y quarks que interactúan son partículas de espín 1/2):
$$ \tag 1 \bar{\Psi}\Psi = \bar{\Psi}\left(\frac{1 + \gamma_{5}}{2} + \frac{1 - \gamma_{5}}{2}\right)\Psi = \left| \bar{\Psi}\left( 1 \pm \gamma_{5} \right) = \left( (1 \mp \gamma_{5})\Psi\right)^{\dagger}\gamma_{0} \right| = $$ $$ =\bar{\Psi}_{L}\Psi_{R} + \bar{\Psi}_{R}\Psi_{L}. $$ Entonces supongamos que $SU(2)\otimes U(1)$ teoría realista e invariante de gauge (la parte electrodébil del SM). Según esta teoría, la representación izquierda $\Psi_{L}$ se transforma como la parte del doblete bajo las transformaciones gauge, mientras que $\Psi_{R}$ se transforma como el singlete. Así que, por supuesto, el término de masa no es invariante gauge.
Pero si asumimos sólo $U(1)$ teoría gauge, no hay dobletes, por lo que el término de masa es efectivamente invariante gauge (excepto el caso Majorana, cuando $\Psi = \hat{C} \Psi$ , donde $\hat{C}$ se refiere a la conjugación de cargas).
Esta es la razón por la que debemos incluir la interacción (invariante gauge) del tipo Yukawa con los dobletes escalares. Por ejemplo, ilustraré mi afirmación describiendo el mecanismo de aparición de la masa de los leptones cargados en el modelo estándar. Reemplazamos el término de masa $(1)$ por $$ L_{int} = -G\bar{\Phi}_{L}\varphi \Psi_{R} + h.c. $$ Aquí $\varphi = \begin{pmatrix} \varphi_{1} & \varphi_{2} \end{pmatrix}^{T}$ se refiere al doblete del campo escalar complejo, y $\Phi_{L} = \begin{pmatrix} \nu_{L} & \Psi_{L}\end{pmatrix}^{T}$ . Después de utilizar el calibre unitario (\varphi \to $\begin{pmatrix} 0 & \sigma \end{pmatrix}^{T}$ ) y desplazando el vacío ( $\sigma \to \sigma + \eta$ ) daremos el término de masa y la interacción con el bosón de Higgs:
$$ L_{\int} = -G\eta (\bar{\Psi}_{L}\Psi_{R} + h.c.) - G\sigma (\bar{\Psi}_{L}\Psi_{R} + h.c.). $$ Así que tenemos el término de masa invariante gauge. Pero el pago de esto es la aparición de la interacción de Yukawa con el campo escalar real masivo.
