Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales.

Question

Sabemos que una función $f(t)$ tiene la forma $$ f(t)=x_1 e^{z_1 t}+x_2 e^{z_2 t}+\cdots+x_n e^{z_n t}, $$ para algunas incógnitas $x_i, z_i$ pero podemos calcular el valor $f(t)$ para cualquier $t.$

Pregunta. Cómo definir el $x_1,x_2,\ldots, x_n, z_1, z_2, \ldots z_i$ en términos de los valores $f(t)$ ?

Mi intento. Poner $y_i=e^{i z_1}.$ Entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones no lineales \begin{cases} x_1+x_2+\cdots+x_n=f(0),\\ x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n=f(1),\\ x_1 y_1^2+x_2 y_2^2+\cdots+x_n y_n^2=f(2),\\ \ldots \\ x_1 y_1^{2n-1}+x_2 y_2^{2n-1}+\cdots+x_n y_n^{2n-1}=f(2n-1). \end{cases}

¿Existe una buena solución general del sistema?

Answer 1

El conocimiento de la teoría de las recurrencias lineales y el curso universitario de álgebra [Kur] nos guiarán.

Agrupando exponentes iguales podemos suponer que $z_i$ son distintos y hay $m\le n$ de ellos. Y, por supuesto, todos $x_i$ son distintos de cero.

Ahora para cualquier natural $t$ función $f(t)$ satisface la recurrencia

$$f(t+m)+a_{m-1} f(t+m-1)+\dots +a_0f(t+0)=0,$$

donde $a_i$ son los coeficientes de la ecuación

$$a(u)=y^m+a_{m-1}u^{m-1}+\dots +a_0=0,$$

cuyas raíces son $u_i=e^{z_i}$ , $i=1,\dots, m$ .

Así que primero resolvemos un sistema $\bar f+Fa=0$ de $m$ ecuaciones lineales para encontrar $a_i$ 's. Aquí $$\bar f=(f(m),f(f+1),\dots, f(2m-1))^T,$$ $F=\|f_{ij}\|,$ donde $i,j=1..m$ y para cada $i,j$ $$f_{ij}=f(i+j-2)=\sum_{k=1}^m x_ku^{i+j-2}_k.$$ Así, $F=GH$ , donde $G=\|g_{ij}\|$ y $H=\|h_{ij}\|$ son $m\times m$ matrices, y $g_{ij}=u_j^{i-1}$ , $h_{ij}=x_iu_i^{j-1}$ para cada $i,j$ . Así, $$\det F=\det G\cdot\det H=(\det G)^2 \cdot x_1\cdots x_m.$$ Pero $\det G=\prod_{i<j} (u_j-u_i)$ porque es Determinante de Vandermonde . (Por cierto, $(\det G)^2=(-1)^{\frac {m(m-1)}2}R(a,a’)$ es un discriminante del polinomio $a$ y $R(a,a’)$ es un resultante del polinomio $a$ y su derivado $a’$ (véase, por ejemplo, [Kur, p.343-345]). Así, $$\det F=\prod_{i<j} (u_j-u_j)^2 x_1\cdots x_m\ne 0.$$ De ahí que el sistema $\bar f+Fa=0$ tiene una solución única $a$ . A continuación resolvemos una ecuación polinómica $a(u)=0$ para encontrar $u_i$ 's. Por último, volvemos a resolver un sistema $Gx=\hat f$ de $m$ ecuaciones lineales para encontrar $x_i$ 's. Aquí $$\hat f=(f(0),f(1),\dots, f(m-1))^T.$$ Desde $\det G\ne 0$ Este sistema tiene una solución única.

Referencias

[Kur] Kurosh A.G., "Curso de álgebra superior", Moscú, Nauka, 1968, 9ª edición (en ruso).