Singularidad de la superficie mínima del puente

Question

Dejemos que $K \subset S^3$ sea un nudo y $P,Q \subset S^3$ sean esferas puente para $K$ con un número mínimo de puentes (es decir $|P \cap K| = |Q \cap K| = 2 b(K)$ donde $b(K)$ es el número de puente de $K$ ). ¿Se deduce que existe una isotopía de $S^3$ que preserva $K$ pero toma $P$ a $Q$ ?

Answer 1

Creo que la respuesta es no. La introducción del siguiente documento es relevante:

• Jang, Yeonhee; Kobayashi, Tsuyoshi; Ozawa, Makoto; Takao, Kazuto. Un nudo con esferas de puente desestabilizadas de número de puente arbitrariamente alto . J. Lond. Math. Soc. (2) 93 (2016), nº 2, 379-396. arXiv:1501.06263 .

Todas las esferas del puente son equivalentes hasta la estabilización. En la introducción del artículo anterior, se examinan los resultados sobre cuándo las esferas puente desestabilizadas son equivalentes hasta la desestabilización. En particular, los siguientes ejemplos (los nombres son enlaces a los artículos) tienen esferas puente desestabilizadas no únicas:

1. Birmano dio un nudo compuesto con dos esferas no isotópicas desestabilizadas de 3 puentes.
2. Montesinos dio un nudo primo con dos esferas no isotópicas desestabilizadas de 3 puentes.
3. Johnson y Tomova dio un nudo con dos esferas puente desestabilizadas no isotópicas que están alejadas en el sentido de la equivalencia estable.
4. Jang dio un nudo con cuatro esferas desestabilizadas de 3 puentes que no son isotópicas por pares.

El primer artículo enlazado también enumera una serie de casos en los que las esferas de puente son únicas, como el nudo de desempate, los nudos racionales, los nudos de toro y los cables de nudos meridionalmente pequeños con esferas de puente únicas.