Cómo hacer el piso y el techo funciones de trabajar en los números negativos?

Question

Para mí está claro cómo estas funciones de trabajar en los números reales positivos: redondear hacia arriba o hacia abajo según corresponda. Pero si tiene para redondear un número real negativo: para sacar el $\,-0.8\,$$\,-1,\,$, a continuación, hacer que tome el piso de $\,-0.8,\,$ o en el techo?

Es decir, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

$$\lfloor-0.8\rfloor=-1$$

$$\text{or}$$ $$\lceil-0.8\rceil=-1$$

Answer 1

La primera es la correcta: redondear hacia "abajo" (es decir, el mayor entero MENOR QUE $-0.8$).

En contraste, el techo de la función rondas de "arriba" para el menor entero MAYOR QUE $-0.8 = 0$.

$$\begin{align} \lfloor{-0.8}\rfloor & = -1\quad & \text{since}\;\; \color{blue}{\bf -1} \lt -0.8 \lt 0 \\ \\ \lceil {-0.8} \rceil & = 0\quad &\text{since} \;\; -1 \lt -0.8 \lt \color{blue}{\bf 0} \end{align}$$

En general, debemos tener la $$\lfloor x \rfloor \leq x\leq \lceil x \rceil\quad \forall x \in \mathbb R$$

Y por lo que se deduce que el $$-1 = \lfloor -0.8 \rfloor \leq -0.8 \leq \lceil -0.8 \rceil = 0$$

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K. del Stm sugerencia es una buena forma intuitiva para recordar la relación entre el piso y el techo de un número real $x$, especialmente cuando se $x\lt 0$. El uso de la "recta numérica" la idea y el trazado de $-0.8$ con los dos más cercanos enteros que "sandwich" $-0.8$ nos da:

$\qquad\qquad$

Vemos que el piso de $x= -0.8$ es el primer número entero inmediatamente a la izquierda de $-0.8,\;$ y el techo de $x= -0.8$ es el primer número entero inmediatamente a la derecha de $-0.8$, y esta estrategia puede ser utilizado, sea cual sea el valor de un número real $x$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil$, así que es la primera.

Más precisamente, para $x \in \Bbb{R}$, $$\lfloor x \rfloor = \max \{ z \in \Bbb{Z} : z \le x \}$$ mientras $$\lceil x \rceil = \min \{ z \in \Bbb{Z} : x \le z \}.$$

Answer 3

La primera de ellas es verdadera: $\lfloor x\rfloor\le x\le\lceil x\rceil$, no importa si $x$ es negativo o no.

Answer 4

Al $x>0$,

$\lfloor-x\rfloor= -\lfloor x\rfloor - 1$

$\lceil-x\rceil= -\lfloor x\rfloor$