Encuentre el área de $(x^2+y^2)^2 \le 4x^2y$

Question

Tengo que encontrar el área de un conjunto de puntos dados con: $$(x^2+y^2)^2 \le 4x^2y ;\quad (x,y) \in {\rm I\!R}^2$$ y no sé cómo empezar.

Answer 1

Como señaló @PeterForeman, la región es $(r^2)^2\le4(r\cos\theta)^2r\sin\theta$ o de forma equivalente $r\le4\cos^2\theta\sin\theta$ Así que $\theta\in[0,\,\pi]$ . Su superficie es $$\begin{align}\int_0^\pi\tfrac12(4\cos^2\theta\sin\theta)^2d\theta&=8\int_0^\pi\cos^4\theta\sin^2\theta d\theta\\&=16\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\sin^2\theta d\theta\\&=8\operatorname{B}\left(\tfrac52,\,\tfrac32\right)\\&=\tfrac{\pi}{2}.\end{align}$$