Resolución del sistema diferencial no lineal $x'(t)=x(t)(s(t)-a)$ , $y'(t)=y(t)(s(t)-b)$ , $z'(t)=z(t)(s(t)-c)$ , donde $s(t)=ax(t)+by(t)+cz(t)$

Question

¿Es posible resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales? Si es así, ¿cómo se podría abordar la solución? No estoy seguro de a qué clase de funciones pertenece (si es que hay alguna), y no estoy familiarizado con la resolución de sistemas de EDO, por lo que se agradece toda la ayuda.

$$ x'(t) = -ax(t)+ax(t)x(t)+by(t)x(t)+cz(t)x(t) \\ y'(t) = -by(t)+ax(t)y(t)+by(t)y(t)+cz(t)y(t) \\ z'(t) = -cz(t)+ax(t)z(t)+by(t)z(t)+cz(t)z(t) \\ \text{ } \\ x(t) + y(t) + z(t) = 1, \ \ \ \ \forall \ t \\ \text{ }\\ \text{where $ a,b,c $ are constants, and $ x,y,z $ are functions of $ t $} \\ \text{and initial values $ x(0) $, $ y(0) $, $ z(0) $ are known} \\ \text{ } $$

Answer 1

Desde $z(t)=1-x(t)-y(t)$ por cada $t$ Esto equivale al sistema 2D $$x'=ux(1-x)-vxy\qquad y'=vy(1-y)-uxy$$ con $$u=c-a\qquad v=c-b$$ A partir de aquí, el comportamiento es una cuestión de signos, de los parámetros $(u,v)$ y de las condiciones iniciales $(x(0),y(0))$ .

Uno puede sospechar que tiene en mente el caso en el que $x(0)$ , $y(0)$ , $z(0)$ son las proporciones de una población tripartita, por tanto no negativas (y que suman $1$ ). Entonces, si $u>0$ y $v>0$ se está modelando una competencia entre algunas especies $x$ y $y$ , cada una con una dinámica logística cuando está aislada, y las herramientas habituales (principalmente un diagrama de fases planar, incluyendo las isoclinas y los puntos fijos, con sus tipos) permiten calcular su asintótica.

Aún así, si $u>0$ y $v>0$ (es decir, $c>b$ y $c>a$ ), la especie con el parámetro maltusiano más alto sobrevive, es decir:

• Si $u>v$ ( $a<b$ ) entonces $(x(t),y(t))\to(1,0)$
• Si $u<v$ ( $a>b$ ) entonces $(x(t),y(t))\to(0,1)$
• Si $u=v$ ( $a=b$ ), entonces $(x(t),y(t))\to(x_\infty,y_\infty)$ donde $x_\infty+y_\infty=1$ y $(x_\infty,y_\infty)$ es proporcional a $(x(0),y(0))$ Así que.., $x_\infty=\frac{x(0)}{1-z(0)}$ y $y_\infty=\frac{y(0)}{1-z(0)}$ .

Se puede comprobar el llamado principio de exclusión competitiva que estipula que, en los sistemas de competencia genéricos, sobrevive exactamente una especie. En este caso, cuando $(a,b,c)$ son positivos y distintos, la especie con la menor $(a,b,c)$ sobrevive (proporción que va a $1$ ) y los otros dos mueren (proporciones que van a $0$ ).

Diagrama de fases para $(u,v)=(2,3)$ (cada $(u,v)$ con la misma proporción $u/v$ produce el mismo diagrama, sólo cambia la velocidad de la dinámica, el caso $u>v$ siendo simétrico):

Diagrama de fases para $(u,v)=(3,3)$ (los diagramas de cada $u=v>0$ coinciden, sólo cambia la velocidad de la dinámica):

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Edit : Para un enfoque más directo, general y potente, tenga en cuenta que este es un caso especial de un $n$ -sistema de dimensiones $$x'_i(t)=-a_ix_i(t)+s(t)x_i(t)\qquad s(t)=\sum\limits_{i=1}^na_ix_i(t)$$ Si $\sum\limits_{i=1}^nx_i(0)=1$ entonces $\sum\limits_{i=1}^nx_i(t)=1$ por cada $t$ y $$x_i(t)=x_i(0)e^{-a_it}e^{S(t)}\qquad S(t)=\int_0^ts(\tau)d\tau$$ por lo que $$x_i(t)=\frac{x_i(0)e^{-a_it}}{\sum\limits_{k=1}^nx_k(0)e^{-a_kt}}$$ por cada $i$ y los resultados anteriores se siguen en esta configuración más general, por ejemplo el hecho de que si $a_i<a_j$ para algunos $i$ y cada $j\ne i$ , entonces la especie $i$ se convierte en dominante en el sentido de que $x_i(t)\to1$ y $x_j(t)\to0$ por cada $j\ne i$ .