Dejemos que ${e_t}$ sea un proceso de ruido blanco de media cero con varianza $\sigma^2$ y sea c una constante con $|c|<1$ . Definir $Y_t=cY_{t-1} + e_t$ con $Y_1 = e_1$
1) Demuestre que E[ $Y_t$ ] = 0
2) Demuestre que $\operatorname{ Var} [Y_t]= \sigma^2(1+c^2+c^4+c^6+...+c^{2t-2}$ )
Lo que tengo hasta ahora
La serie se expande de la siguiente manera?
$Y_1 = e_1$
$Y_2 = cY_1+e_2=ce_1+e_2$
$Y_3 = cY_2+e_3=c(ce_1+e_2)+e_3$
$Y_4 = cY_3+e_4=c(c^2e_1+ce_2+e_3)+e_4$
$Y_n$ =c( $c^{n-2}$$ e_1 $+$ c^{n-3} $$e_2$ + $c$$ e_{n-1} $)+$ e_n$
para la parte 1) esto es lo que tengo
E[ $Y_t$ ]=E[ $Y_t=cY_{t-1} + e_t$ ]=E[ $cY_{t-1}$ ] + E[ $e_t$ ] = c*0+0=0
para 2) $\operatorname{ Var}[Y_t] = \operatorname{ Var}[cY_{t-1} + e_t] = \operatorname{ Var}[cY_{t-1}] + \operatorname{ Var}[e_t] = c^2\operatorname{ Var}[Y_{t-1}]+\sigma^2$
Realmente no sé cómo convertir esto en la respuesta anterior. Veo por qué el $\sigma^2$ es un término común, pero no donde el $2t-2$ viene de. Cualquier ayuda sería estupenda.
