Lo siento, quizá sea una pregunta muy estúpida. Deje que $\mathbb{C}_p$ sea la terminación del cierre algebraico $\overline{\mathbb{Q}_p}$ del campo de $p$ -número de radicales. Sabemos que existe una forma de extender la $p$ -Valoración de la caducidad a $\mathbb{C}_p$ y de esta manera es posible definir el anillo de enteros $\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}$ dado por elementos de valoración mayores o iguales que $0$ . También es posible definir el ideal máximo de este anillo de valoración dado por elementos de valoración estrictamente mayores que $0$ . Ahora, ¿es este ideal finitamente generado?
Respuesta
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No lo es - de hecho, supongamos que lo fuera, digamos $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}_p} = (x_1,\ldots,x_n)$ . Entonces $v(x) \geq \min v(x_i) > 0$ para cualquier $x\in\mathfrak{m}_{\mathbb{C}_p}$ . Sin embargo, esto es una contradicción ya que existen elementos de $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}_p}$ con una valoración estrictamente inferior a $\min v(x_i)$ (por ejemplo, uno de los $\sqrt{x_i}$ ).
