La cardinalidad de este conjunto de funciones $\mathcal{F}$ es $\mathfrak{c}$ , el continuo.
La cardinalidad de $\mathcal{F}$ es al menos $\mathfrak{c}$ porque dado un número real irracional $\alpha \in (0,1)$ y cualquier número real $\beta$ podemos construir una función con las propiedades dadas y que tenga $f(\alpha) = \beta$ . En particular, si fijamos $\alpha = 1/\sqrt{2}$ o su irracional favorito en el intervalo, esta construcción describirá tantas funciones diferentes como valores reales haya para $\beta$ y $|\mathbb{R}| = \mathfrak{c}$ .
Dejemos que $0 = a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$ sea cualquier secuencia estrictamente creciente de números racionales que convergen a $\alpha$ y que $1 = b_1 > b_2 > b_3 > \cdots$ sea cualquier secuencia estrictamente decreciente de números racionales que converjan a $\alpha$ . La función $f$ es:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{\lfloor k \beta \rfloor}{k} + \left(\frac{\lfloor(k+1)\beta\rfloor}{k+1} - \frac{\lfloor k \beta \rfloor}{k}\right) \frac{x-a_k}{a_{k+1}-a_k} & a_k \leq x < a_{k+1} \\ \beta & x = \alpha \\ \frac{\lceil k \beta \rceil}{k} + \left(\frac{\lceil (k+1) \beta \rceil}{k+1} - \frac{\lceil k \beta \rceil}{k}\right) \frac{b_k-x}{b_k-b_{k+1}} & b_{k+1} < x \leq b_k \end{cases} $$
$f(x)$ toma un valor racional en cada $x$ ya que todo el suelo ( $\lfloor \cdot \rfloor$ ) y el techo ( $\lceil \cdot \rceil$ ) son enteros, $k$ es un número entero positivo, y todo $a_k$ y $b_k$ son racionales. $f$ es lineal en los intervalos $(a_k,a_{k+1})$ y $(b_{k+1},b_k)$ y la continuidad en los puntos de esquina $a_k$ y $b_k$ es fácil de mostrar. Para la continuidad en $\alpha$ , tenga en cuenta que si $a_k \leq x < a_{k+1}$ , ya que $f$ es lineal en el intervalo,
$$ |f(x)-\beta| \leq \max(|f(a_k)-\beta|, |f(a_{k+1})-\beta|) $$ $$ |f(a_k)-\beta| = \left| \frac{\lfloor k \beta \rfloor}{k} - \beta \right| = \frac{k \beta - \lfloor k \beta \rfloor}{k} < \frac{1}{k} $$ $$ |f(x)-\beta| \leq \max \left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}\right) = \frac{1}{k} $$
De la misma manera, $b_{k+1} < x < b_k$ también implica $|f(x)-\beta| \leq \frac{1}{k}$ . Desde $j > k$ implica $1/j < 1/k$ y $f(\alpha)-\beta = 0$ También es cierto que $|f(x)-\beta| \leq \frac{1}{k}$ para todos $x \in [a_k,b_k]$ . Así que para cualquier $\epsilon > 0$ , elija un número entero positivo $K > 1/\epsilon$ y $|x-\alpha| < \min(\alpha-a_K, b_K-\alpha)$ implica $|f(x)-f(\alpha)| \leq 1/K < \epsilon$ ; $f$ es continua en $\alpha$ .
La cardinalidad de $\mathcal{F}$ es como máximo $\mathfrak{c}$ porque podemos definir una inyección desde el conjunto de funciones al conjunto de secuencias de números racionales, que tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$ . Este mapeo es
$$ \Phi : f \mapsto \left(f(0), f(1), f\!\left(\frac{1}{2}\right), f\!\left(\frac{1}{4}\right), f\!\left(\frac{3}{4}\right), f\!\left(\frac{1}{8}\right), \ldots\right) $$
Para mostrar esto $\Phi$ es inyectiva, supongamos que $f_1$ y $f_2$ son funciones continuas que corresponden a la misma secuencia. Es decir, $f_1\left(\frac{m}{2^n}\right) = f_2\left(\frac{m}{2^n}\right)$ para números de la forma $\frac{m}{2^n}$ (con $m,n$ enteros no negativos) en el dominio. Supongamos por contradicción que $f_1(x_0) \neq f_2(x_0)$ en cualquier $x_0 \in (0,1)$ . Como cada función es continua, existe una $\delta_1>0$ y $\delta_2>0$ tal que
$$|x-x_0| < \delta_1 \implies |f_1(x)-f_1(x_0)| < \frac{1}{2}|f_1(x_0)-f_2(x_0)|$$ $$|x-x_0| < \delta_2 \implies |f_2(x)-f_2(x_0)| < \frac{1}{2}|f_1(x_0)-f_2(x_0)|$$
Dejemos que $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ . Dado que los números de la forma $\frac{m}{2^n}$ son densos, hay un número tal $x_1 = \frac{m}{2^n}$ en el intervalo $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ . Entonces $|x_1-x_0| < \delta_1$ y $|x_1-x_0| < \delta_2$ y $f_1(x_1) = f_2(x_1)$ por lo que combinando las afirmaciones de continuidad con la desigualdad del triángulo se obtiene
$$ \begin{align*} |f_1(x_0)-f_2(x_0)| &= \big|[f_1(x_0)-f_1(x_1)] - [f_2(x_0)-f_2(x_1)]\big| \\ &\leq |f_1(x_1)-f_1(x_0)| + |f_2(x_1)-f_2(x_0)| \\ &< \frac{1}{2}|f_1(x_0) - f_2(x_0)| + \frac{1}{2}|f_1(x_0)-f_2(x_0)| \\ &= |f_1(x_0)-f_2(x_0)| \end{align*} $$
Contradicción: no es posible que $f_1(x_0) \neq f_2(x_0)$ . Por lo tanto, si las funciones continuas tienen la misma secuencia $\Phi(f_1) = \Phi(f_2)$ Las funciones son idénticas; $\Phi$ es inyectiva.
