Significado geométrico de la descomposición primaria

Question

En el libro " Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica de David Eisenbud, escribió sobre la interpretación geométrica de la descomposición primaria.

Resumo de la siguiente manera :

Sea $I=\cap_{j}I_{j}$ sea una descomposición primaria mínima de $I$ donde $I$ es un ideal en $k[x_{1},\cdots,x_{n}]$ . Entonces $Z(I)=\cup_{j}Z(I_{j})$ . Por lo tanto, si $I$ es un ideal radical, entonces cada uno de $I_{j}$ es un ideal primo mínimo sobre $I$ y la descomposición primaria nos dan la descomposición de $Z(I)$ como la unión de la variedad irreducible $Z(I_{j})$ .

Mis pensamientos son los siguientes:

Si $I=\cap_{j}I_{j}$ es una descomposición primaria de $I$ entonces cada $I_j$ es un ideal primario entonces su radical $radI_{j}$ es un ideal primo $p_j$ . Entonces $Z(I_{j})=Z(p_{i})$ y porque $p_j$ son ideales primos, $Z(p_{j})$ son variedades irreducibles. Por lo tanto, $Z(I)=\cup_{j}Z(I_{j})$ es una descomposición de $Z(I)$ en componentes irreducibles.

Entonces, ¿cuál es el papel de la propiedad radical de $I$ que mencionó Eisenbud?

¿Podría alguien señalar el significado geométrico de la descomposición primaria de forma muy concreta?

Gracias.

Actualización : MattE ha respondido a mi segunda pregunta(gracias por ello), pero sigo teniendo problemas en mi primera pregunta. El argumento de Eisenbud ha utilizado la propiedad radical de ideal $I$ y concluye que $Z(I)$ puede descomponerse en la unión de componentes irreducibles. Sin embargo, en mi argumento anterior, no lo he utilizado y todavía obtener la misma conclusión. Así que estaba equivocado en cualquier lugar o podemos ignorar las propiedades radicales de $I$ en el argumento de Eisenbud?

Por favor, indíquemelo. Muchas gracias.

Answer 1

La descomposición primaria es más sutil que la descomposición en componentes irreducibles. A saber, los distintos primos que aparecen son los primos asociados del cociente $R/I$ (considerado como un $R$ -módulo).

Es decir, son los ideales primos que aparecen como aniquiladores de algún elemento de $R/I$ .

Geométricamente, podemos pensar en $R/I$ como las secciones globales de la gavilla de estructura de Spec $R/I$ y los distintos $Z(p_i)$ son precisamente aquellos subconjuntos irreducibles de Spec $R/I$ que puede realizarse como el soporte de algún elemento particular de $R/I$ .

Por ejemplo, si $R = \mathbb C[x,y]$ y $I = (xy, x^2)$ entonces una descomposición primaria de $I$ es $0 = (x,y)^2 \cap (x).$ Aquí $(x)$ aparece porque es el radical de $I$ el cociente $R/I = \mathbb C[x,y]/(xy,x^2)$ aunque no es un dominio, se convierte en un dominio después de que cociente a cabo por su nilradical, y por lo que su Spec es irreducible. El otro ideal primo que contribuye es $(x,y)$ : esto aparece porque el elemento $x \in R/I$ se apoya en el origen, es decir, en el punto $(x,y)$ . Esto está relacionado con el hecho de que $x$ es nilpotente en $R/I$ aunque $R/I$ es reducido genéricamente . Decimos que $(x,y)$ es un punto incrustado de Spec $R/I$ .

Añadido: El OP ha editado la pregunta, señalando que esta respuesta no responde a la primera parte de la pregunta. Me gustaría señalar que, de hecho, lo hace responde a esa parte de la pregunta.

Si $I$ es radical, por lo que $R/I$ se reduce, entonces los primos asociados de $R/I$ son sólo sus primos mínimos, por lo que (como señala Eisenbud) la descomposición primaria de $I$ corresponde simplemente a la unión de Spec $R/I$ en su irred. comps.

Sin embargo, si $I$ no es radical, por lo que $R/I$ no se reduce, entonces la descomposición primaria de $I$ refleja los posibles componentes integrados en Spec $R/I$ , por lo que contiene información más sutil que los primos mínimos de $I$ (o, lo que es lo mismo, los comps. irred. de Spec $R/I$ ).

Concretamente, si $\mathfrak p$ y $\mathfrak q$ son dos primos correspondientes a ideales primarios en la descomposición primaria de $I$ entonces puede ocurrir que $\mathfrak p \subset \mathfrak q$ de modo que $Z(\mathfrak q) \subset Z(\mathfrak p)$ . (Véase, por ejemplo, el ejemplo explícito anterior.) Por lo tanto $Z(\mathfrak q)$ no será un componente irred. de Spec $R/I$ . (Se trata precisamente de un componente integrado ).