Firma de la función zeta de Riemann

Question

Dejemos que $\zeta\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ denota la función zeta de Riemann, definida analíticamente en $\mathbb{C}$ por continuación meromórfica, donde $z \in D$ . Del mismo modo, dejemos que $G$ representan el codominio de $z$ en $\zeta(z)$ , de tal manera que $\zeta(z)\in G$ si $z \in D$ . ¿Existe una condición necesaria que se pueda imponer a $z$ , de tal manera que $\zeta(z)\in\mathbb{C^+}\cup \{0\}$ (es decir $\zeta(z)0$ si $z \in F\subset D$ ) y $\zeta(z)\in\mathbb{C^-}$ (es decir $\zeta(z)<0$ si $z \in H\subset D$ ) ?

Saludos cordiales

Answer 1

Esto es aproximadamente desesperante. Consideremos que cada cero de la función zeta de Riemann en la franja crítica es (bajo la famosa hipótesis) la intersección de una copia homeomórfica del eje real y una copia del eje imaginario, con la porción positiva del eje real extendiéndose hacia la derecha (y a veces volviendo hacia la izquierda) y los rayos reales negativos y ambos imaginarios extendiéndose hacia la izquierda.

El fracaso de la famosa hipótesis permitiría que las copias de los ejes fueran múltiples (si la raíz fuera una raíz múltiple) y que los ejes no se extendieran a la izquierda o a la derecha (para un par de raíces que no estuvieran en la línea crítica). Esto se ilustra aquí (de " Ceros de la función zeta de Riemann ." De MathWorld--A Wolfram Web Resource)

Los ceros de la franja crítica son la columna de puntos del cuarto derecho. Los puntos donde zeta es real puro son azules. Los puntos en los que zeta es imaginaria pura son rojos. Cada raíz crítica tiene ejes imaginario positivo y negativo que corren hacia la izquierda. El eje real negativo va hacia la izquierda. El eje real positivo a veces se extiende hacia la derecha hasta el infinito y a veces se extiende un poco hacia la derecha y da la vuelta. Las franjas horizontales adicionales de valores reales que no están unidos a una raíz no han sido muy estudiadas.

Los conjuntos que le interesan son varios trozos de las curvas azules de la imagen.