Hallar la media y la varianza de esta distribución

Question

Teniendo en cuenta lo siguiente:

$Y|\Lambda=\mathrm{Poisson(\Lambda)}$ y $\Lambda=\mathrm{Gamma}(\alpha, \beta)$

Encuentre la distribución, la media y la varianza de $Y$ .

Después de mucho trabajo, pude encontrar la distribución de $Y$ que es:

$f_Y(y)={{\Gamma(y+\alpha)e^{(-y/\beta)}}\over{y!\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}}$

Ahora, utilizando esta distribución, quería encontrar la media y la varianza. Intenté integrar los resultados anteriores pero no pude encontrar una forma cerrada para el producto $\Pi_{i=1}^n{(y+\alpha-i)}$ y a partir de ellos se rompe la integración.

Agradecería que alguien me proporcionara una forma de calcular la media y la varianza de Y. Gracias

Answer 1

He resuelto esta cuestión estableciendo $\beta = (p/(1-p))$ . Luego seguí la derivación de la distribución Binomial Negativa como se muestra en este enlace . Como quería una respuesta en términos de $\beta$ simplemente resolví la expresión anterior para $p$ y reemplazado $\beta$ con esa expresión, dándome Y~NB( $\alpha$ , $\beta/(1+\beta)$ ). A partir de ahí, la media y la varianza se pueden encontrar fácilmente.