Probabilidad de fallos con distribución exponencial

Question

Me he encontrado con este problema:

Una habitación está iluminada por $10$ bombillas. La vida útil, X, de las bombillas sigue una distribución exponencial con media $ \mu$ = $1000$ horas. En una ventana de tiempo de $2000$ horas:

1. ¿cuál es el número esperado de fallos?

Lo hice como: Para una ventana de tiempo de 2000 horas, y 10 bombillas, valor esperado= $\frac{1}{1000}$ * $2000$ * $10$ = $20$

2. ¿cuál es la probabilidad de que haya más de $5$ ¿fracasos?

Las bombillas se sustituyen inmediatamente en caso de avería.

He calculado la probabilidad de que una bombilla no falle (X> $2000$ ) es:

$ \mu$ = $1000$ , $\lambda$ = $\frac{1}{1000}$

P(X>2000) = $e^{-\lambda x}$ = $e^{-2000/1000}$ = 0.13 ( 13% )

y he intentado incorporarlo a la resolución de las preguntas, pero creo que voy por el camino equivocado.
Editar: También he utilizado la Probabilidad de Poisson Acumulada para encontrar los límites superior/inferior pero no sé cómo aplicarlo a múltiples objetos. También tengo curiosidad por saber cómo cambiaría el problema si las bombillas no fueran reemplazadas al fallar.

Answer 1

Si hubiera una sola bombilla con una vida media de $1000$ horas, entonces el número de fallos en el tiempo $t$ tendría una distribución de Poisson con valor esperado $t/1000$ . Con $10$ bombillas que funcionan independientemente unas de otras, ese valor esperado simplemente se multiplica por $10$ . La razón es que la distribución de la suma de variables aleatorias independientes con distribución de Poisson es con distribución de Poisson. Creo que la pregunta de por qué es así se ha respondido aquí varias veces.