Secuencia exacta larga de cohomología y fibrado

Question

En un artículo que estoy leyendo, el autor afirma :

$O$ es isomorfo al complemento de una sección cero de un haz de líneas sobre $X$ . Tenemos una larga secuencia exacta de cohomología (étale) asociada a la fibración : $$ \cdots \to H^{i-2}_c(X) \to H^{i}_c(X) \to H^{i+1}_c(O) \to H^{i-1}_c(X) \to \cdots $$

¿Existe un resultado que implique una secuencia exacta larga (de cohomología) y el complemento de una sección cero de un haz (de líneas)?

Por ahora, supongo que el primer y el último término de la secuencia anterior son los grupos de cohomología del haz de líneas : si $Y \to X$ es el haz de linde, entonces $$H^i_c(Y) = H^{i-2}_c(X).$$ Así que hipotéticamente debería haber una larga secuencia exacta como : $$ \cdots \to H^{i}_c(Y) \to H^{i}_c(X) \to H^{i+1}_c(O) \to H^{i+1}_c(Y) \to \cdots $$ pero no entiendo por qué.

Gracias.

Answer 1

Aunque el comentario de Mark Grant enlaza con la respuesta correcta (lo que buscas se llama la secuencia de Gysin), la página de Wikipedia no lo indica de la forma que quieres. En general, para un subconjunto abierto $U \subset X$ de una variedad algebraica $X$ hay una larga secuencia exacta $$\cdots \to H^i_c(U) \to H^i_c(X) \to H^i_c(X\setminus U) \to H^{i+1}_c(U) \to \cdots$$ de grupos de cohomología étale. Esto debería estar en cualquier referencia sobre cohomología étale.

El análogo en cohomología de Rham es fácil de entender, y así es como suelo recordar esta secuencia. Una forma diferencial compactamente soportada en $U$ admite una extensión por cero a todas las $X$ y la restricción de una forma diferencial compactamente soportada en $X$ al subconjunto cerrado $X\setminus U$ es una forma compactamente soportada en $X \setminus U$ . Esto da una secuencia exacta $$0 \to \Omega_c^\bullet(U) \to \Omega_c^\bullet(X) \to \Omega_c^\bullet(X\setminus U) \to 0$$ cuya cohomología da la secuencia exacta larga anterior.