¿Cómo se obtiene la fórmula de $\sin (a+b)$ de $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

Question

Sé que el cos es parejo mientras el pecado es impar, y sé $\cos(\pi)=\sin((\pi/2)-x)$ pero todavía no puedo entender la derivación de $\sin (a+b)$ de $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ . ¿Podría darme alguna pista?

Answer 1

$$\sin(a+b)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+(-b)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cos(-b)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin(-b)\\=\sin(a)\cos(-b)-\cos(a)(-\sin(b))=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$$

Answer 2

Una pista muy corta:

Derivación ;o)

y algunos detalles:

Empezar desde $$\cos(a+b)=\cos a \cos b-\sin a\sin b$$ y diferenciar con respecto a, digamos, $a$ : $$-\sin(a+b)=-\sin a\cos b-\cos a \sin b.$$

Answer 3

Como Element118 ya ha dado lo que esperabas, aquí tienes una prueba geométrica (los cuadrados grises representan ángulos rectos).

Por definición, sabemos que $$\sin(\alpha+\beta)=\frac{|BC|+|CD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|AB|}+\frac{|CD|}{|AB|}$$

Queremos $$\cos(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\beta)\sin(\alpha)$$

Tenemos $\cos(\alpha)=\frac{|BC|}{|BE|}$ y $\sin(\beta)=\frac{|BE|}{|AB|}$ y da: \begin{equation*} \frac{|BC|}{|AB|}=\frac{|BC|\cdot|BE|}{|AB|\cdot|BE|}=\underbrace{\frac{|BC|}{|BE|}}_{\cos(\alpha)}\underbrace{\frac{|BE|}{|AB|}}_{\sin(\beta)} \end{equation*} Repetimos esto para $\frac{|CD|}{|AB|}$ y obtenemos

\begin{equation} \sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\beta)\sin(\alpha) \end{equation}