¿Cómo recordar las identidades de los trigoneros?

Question

Supongamos que tengo una función trigonométrica $T: \Bbb {R} \rightarrow \Bbb {R}$ . Quiero ser capaz de derivar cuatro propiedades básicas:

$$T(x) \cdot T(y)$$ $$T(x) + T(y)$$ $$T(x+y)$$ $$T(cx)$$

donde $c$ es algo escalar.

Sé que hay un montón de identidades: recíproca, cociente, pitagórica, co-función, incluso-impar. Y luego algunas fórmulas: producto-suma, suma-producto, suma-diferencia, doble ángulo, medio-ángulo/reducción de potencia. Aquí es una lista. Es mucho para memorizar y algunas de ellas parecen superponerse.

¿Por qué las cuatro propiedades básicas que mencioné requieren tantas identidades para aprender? Es un poco engorroso. ¿Hay una forma más fácil de aprender a hacer las operaciones aritméticas básicas con las funciones de trigonometría?

Answer 1

Siempre me pareció que recordar $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ útil para derivar rápidamente las fórmulas de suma de ángulos, por ejemplo

$$e^{i(x+y)}=\cos(x+y)+i\sin(x+y).\tag{1}$$

Pero

$$e^{ix+iy}=e^{ix}e^{iy}=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y).\tag{2}$$

Expandiendo (2), igualando con (1) y separando las partes real e imaginaria se obtienen las fórmulas.

Así podrás obtener fácilmente las fórmulas de los ángulos dobles.

Espera, ¡hay más!

Tenemos $(e^{ix})^n=(\cos x+i\sin x)^n$ .

Pero también tenemos $$(e^{ix})^n=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$$ por lo que obtenemos

$$(\cos x+i\sin x)^n = \cos(nx)+i\sin(nx).$$

Por ejemplo, considere $n=2$ , entonces la expansión da:

$$\cos^2 x-\sin^2 x = \cos(2x)$$ y $$2\sin x\cos x=\sin(2x).$$

Esta es otra forma de obtener las fórmulas de los ángulos dobles, pero se pueden obtener más identidades trigonométricas dejando que $n=3, 4, \ldots$ . En general, para un número entero positivo $n$ tenemos

$$\cos(nx) = \Re\left((\cos x+i\sin x)^n\right) =\Re\sum_{k=0}^n{n\choose k}i^k\cos^{n-k}(x)\sin ^k(x)$$ y $$\sin(nx) = \Im\left((\cos x+i\sin x)^n\right)=\Im\sum_{k=0}^n{n\choose k}i^k\cos^{n-k}(x)\sin^k(x).$$

Expandiendo y simplificando se obtienen bonitas identidades trigonométricas. Esto se llama Teorema de De Moivre .

Answer 2

Me parece que cuatro son suficientes. $$\cos^2 (x) + \sin^2(x) = 1 \tag{1}$$ $$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) \tag{2}$$ $$\sin(a+b)=\sin(a)cos(b)+\sin(b)\cos(a) \tag{3}$$ $$trig(x) = cotrig(\frac{\pi}{2}-x) \tag{4}$$

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La identidad pitagórica $(1)$ es fácil de manipular. Dividir por $cos^2(x)$ alternativamente por $sin^2(x)$ para encontrar las otras formas

$$1 + \tan^2(x) = sec^2(x) \tag{5}$$ $$\cot^2(x) +1 = csc^2(x) \tag{6}$$

Para las fórmulas de adición de ángulos $(2)$ y $(3)$ podemos aplicar las identidades impar y Par para derivar rápidamente las identidades de sustracción de ángulos:

$$\cos(a+\color{red}{(-b)})=\cos(a)\cos(\color{red}{(-b)})-\sin(a)\sin(\color{red}{(-b)})$$ $$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b) \tag{7}$$

y

$$\sin(a+\color{red}{(-b)})=\sin(a)cos(\color{red}{(-b)})+\sin(\color{red}{(-b)})\cos(a)$$ $$\sin(a-b)=\sin(a)cos(b)-\sin(b)\cos(a) \tag{8}$$

También podemos dejar que $a=b$ y sustituirlo por $(2)$ y $(3)$ para encontrar formas de ángulo doble

$$\cos(a+a)=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)$$ $$\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a) \tag{9}$$

$$\sin(a+a)=\sin(a)cos(a)+\sin(a)\cos(a)$$ $$\sin(2a)=2\sin(a)cos(a) \tag{10}$$

Combinando $(9)$ con la identidad pitagórica $(1)$ da dos más.

$$\cos(2a)=1-2\sin^2(a) \tag{11}$$ $$\cos(2a)=2\cos^2(a)-1 \tag{12}$$

Si quieres una fórmula de medio ángulo, también puedes dejar $u=2a$ en las cuatro identidades anteriores. Sólo hay que tener en cuenta los cuadrados y las raíces. ¿Qué pasa con la tangente? Dividir cualquier relación $sin$ por $cos$ para conseguir lo que necesitas.

¡No olvidemos el producto para sumar identidades! Si tomamos $(2)$ y $(7)$ y añadimos la ecuación, encontramos

$$\cos(a+b) + \cos(a-b)=2\cos(a)\cos(b)$$ $$\cos(a)\cos(b) = \frac12 (\cos(a+b) + \cos(a-b)) \tag{13}$$

Combinaciones similares darán el producto restante para sumar identidades.

En cuanto a $(4)$ , $trig(x) = cotrig(\frac{\pi}{2}-x)$ Me refiero a las identidades cofuncionales, que tienen todas la misma forma. Por ejemplo, $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x).$ Eso es esencialmente seis identidades más.

Ahora tenemos más de veinte identidades a nuestra disposición, incluyendo las pocas que he mencionado pero que no he derivado directamente.

Answer 3

De los comentarios a la pregunta:

Michael Burr :

Las definiciones de $\tan$ , $\csc$ , $\sec$ y $\cot$ deben ser memorizados (mnemotecnia: cada par de recíprocos tiene una "co", por ejemplo $(\sin,\csc)$ son un par) memorizo $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ y las fórmulas de suma/diferencia de ángulos. Todo lo demás suele derivarse de ellas.

Esto es genial porque simplifica todo a un conjunto de principios básicos. El problema es memorizar las fórmulas de suma/diferencia. Encontré la siguiente mnemotecnia en otro responder

Azul :

Seno, Coseno, Firma Coseno, Seno

Coseno, Coseno, Firma conjunta , Seno, Seno

La primera línea encierra las fórmulas del seno; la segunda, del coseno. Basta con introducir los ángulos (en orden $\alpha, \beta, \alpha, \beta$ en cada línea), y saber que "Signo" significa utilizar el mismo signo que en el argumento compuesto ("+" para la suma de ángulos, "-" para la diferencia de ángulos), mientras que "Co-Signo" significa utilizar el signo contrario.

En conjunto, creo que esto constituye un buen plan de juego para abordar la trigonometría. Para un poco más de diversión, ver la impresionante respuesta de Pbs.

Answer 4

La respuesta de Stan probablemente hará un mejor trabajo que la mía; aunque se corre el riesgo de repetir información: memorizar $\sin^2(x)$ $+$ $\cos^2(x)$ $=$ $1$ dividiendo por $\cos^2(x)$ dará lugar a la identidad $\tan^2(x)$ + $1$ $=$ $\sec^2(x)$ .

Además, dividiendo por $\sin^2(x)$ dará lugar a $1 +$ $\cot^2(x)$ = $\csc^2(x)$ . Además, la comprensión intuitiva de los gráficos de $\sin(x)$ y $\cos(x)$ le hará la vida más fácil.

Por último, repasar las derivaciones del círculo unitario de muchas identidades trigonométricas te resultará útil para poder "despegarte" en caso de que te atasques.

Edición: Por supuesto, también conociendo lo básico: $\tan(x)$ $=$ $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ , $\csc(x)$ $=$ $\frac 1{sin(x)}$ , $\sec(x)$ $=$ $\frac 1{cos(x)}$ es fundamental.

Answer 5

En el libro se menciona una forma sistemática de poner en práctica lo que pbs escribió A = B en la sección 1.5:

Dejemos que $w = \exp(ix)$ entonces $\cos x = (w +w^{-1})/2$ y $\sin x = (w - w^{-1}/(2i$ ). Así que la igualdad de expresiones racionales en las funciones trigonométricas puede reducirse a la igualdad de expresiones polinómicas en w. (Ejercicio: Demostrar, de esta manera, que $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ .)