¿Qué tan arrogante puedo ser al exigir que una categoría tenga sumas directas?

Question

En mi opinión, un suma directa en una categoría debería llamarse realmente "biproducto". Si $X,Y$ son objetos, entonces una suma directa $X \oplus Y$ es un objeto $Z$ junto con los isomorfismos $\hom(Z,A) = \hom(X,A) \times \hom(Y,A)$ y $\hom(A,Z) = \hom(A,X) \times \hom(A,Y)$ para todos los objetos $A$ . Una suma directa es única hasta el isomorfismo canónico si existe, por supuesto. Una categoría tiene sumas directas (finitas) si tiene un objeto cero (un objeto que es a la vez inicial y terminal; es decir, "la suma directa de cosas cero") y si $X\oplus Y$ existe para cualquier objeto $X,Y$ . Si una categoría tiene sumas directas, entonces está naturalmente enriquecida en monoides abelianos. Creo que un categoría de aditivos es una categoría con sumas directas en la que todos los hom-sets (que ya son monoides abelianos) son realmente abelianos grupos .

Hay muchas veces que se dice "incluir todas las sumas directas". Por ejemplo:

Ejemplo:
Dejemos que $\mathcal C$ sea cualquier categoría (enriquecida sobre $\rm SET$ ). Entonces puedo hacer que se enriquezca sobre $\rm ABGP$ aplicando el $\rm Free: SET \to ABGP$ functor a cada hom-set. Así que ahora tengo una nueva cateforia ${\rm Free}(\mathcal C)$ en el que puedo añadir morfismos. Pero a menudo también quiero añadir objetos, así que hago algo como "tomar la categoría de matriz" ${\rm Mat}(\mathcal C)$ cuyos objetos son secuencias finitas de objetos en $\mathcal C$ y cuyos morfismos son matrices de morfismo en ${\rm Free}(\mathcal C)$ . Entonces es más o menos obvio que ${\rm Mat}(\mathcal C)$ es una categoría aditiva. Si $\mathcal C$ es generado libremente por algunos (objetos y) morfismos, entonces ${\rm Mat}(\mathcal C)$ es presumiblemente "la categoría aditiva libre generada por esos morfismos".

Pero a menudo no me conformo con las categorías de aditivos libres. Por ejemplo, puedo querer presentar una categoría por generadores y relaciones.

Pregunta: ¿Está claro que cuando tomo el cociente de una categoría aditiva por algún ideal (como un $\rm ABGP$ -categoría enriquecida), que todavía tiene productos directos?

O tal vez realmente quiero el abeliano categoría que presentan los generadores y las relaciones. O tal vez sólo quiero que cada idempotente se divida, en cuyo caso podría tomar la Sobre de Karoubi .

Pregunta: Si extiendo mi categoría para dividir todos los idempotentes, o para incluir los núcleos y los coquetos, o ..., ¿está claro que sigue teniendo productos directos?

Una aplicación muy explícita contenida en estas construcciones es la formación del producto tensorial exterior de categorías: si $\mathcal B,\mathcal C$ son categorías aditivas, entonces $\mathcal B \boxtimes \mathcal C$ es la categoría aditiva libre generada por $\mathcal B \times \mathcal C$ con un montón de relaciones.

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es sí. Si A y B tienen una suma directa A ⊕ B en C, entonces hay inclusiones i _A : A → A ⊕ B, i _B : B → A ⊕ B y las proyecciones p _A : A ⊕ B → A, p _B : A ⊕ B → B tal que p _A i _A \= 1, p _B i _B \= 1, y i _A p _A + i _B p _B \= 1. A la inversa, la existencia de tales mapas en una categoría enriquecida por Ab hace que A ⊕ B sea una suma directa de A y B, aunque no supongamos a priori que A y B tengan una suma directa. Ahora bien, si formamos el cociente C/I por un ideal I, y dos objetos A y B con una suma directa A ⊕ B en C, la imagen de este sistema de mapas presenta la imagen de A ⊕ B como la suma directa de las imágenes de A y B. En resumen, las sumas directas son colímites absolutos, y como el functor cociente C → C/I es esencialmente suryectivo (de hecho, biyectivo sobre objetos), todo par de objetos de C/I hereda una suma directa de C.

Answer 2

No creo que tu definición de suma directa sea del todo correcta (incluso si añades la condición obviamente necesaria de que los isomorfismos sean naturales). Yo entiendo que una suma directa / biproducto es un objeto que es a la vez producto y coproducto de forma compatible . Esto se suele expresar diciendo que se tienen coproductos y productos, y los morfismos únicos $0\to 1$ y $X\sqcup Y \to X\times Y$ son isomorfismos. En términos de su definición, creo que esto sería equivalente a decir que tiene un objeto cero, y el isomorfismo compuesto $$\hom(Z,Z) \cong \hom(X,X)\times \hom(Y,X)\times \hom(X,Y)\times \hom(Y,Y)$$ se refiere a $1_Z$ a $(1_X,0,0,1_Y)$ (donde $0$ es el mapa factorizado a través del objeto cero). Es verdadero pero no (creo) obvio, que si tienes productos y coproductos y un natural familia de isomorfismos $X\sqcup Y \cong X\times Y$ Entonces, en realidad, tienes biproductos. Pero no creo que esto funcione como definición de un biproducto individual.

En cuanto a tu pregunta, no tengo una respuesta completa, pero una cosa a tener en cuenta es que en el mundo de las categorías enriquecidas sobre monoides aditivos (o grupos), las sumas directas son (co)límites absolutos , también conocido como (co)límites de Cauchy. Eso significa que son automáticamente preservados por cualquier functor enriquecido por AbMon, y además la 2-categoría de categorías enriquecidas por AbMon con sumas directas es reflector en la 2-categoría de todas las categorías enriquecidas por AbMon. Por lo tanto, después de realizar cualquier construcción "libre" o "cociente" o "colímite" en categorías enriquecidas por AbMon, siempre se puede aplicar el reflector para añadir las sumas directas que puedan faltar (y las sumas directas que ya se tengan no se modificarán). En particular, esto proporciona una construcción de una categoría aditiva "presentada" por cualquier noción de generadores y relaciones: primero se genera la categoría libre enriquecida por AbGp, y luego se refleja en categorías aditivas.

En general, no es obvio para mí que si se agrega alguna estructura adicional libremente (como los núcleos o cokernels), a continuación, aplicar el anterior "Cauchy-completion" reflector, que la presencia de la nueva cosa que ha añadido es preservado por el reflector. Pero si no lo es, entonces quizás se podría realizar algún tipo de colimación secuencial de aproximaciones sucesivas. Ten en cuenta que de las otras construcciones que has mencionado, la división de idempotentes es también un (co)límite absoluto, por lo que se comporta de forma similar a las sumas directas, mientras que los núcleos y los coquetos no lo son.

Sin embargo, nada de esto responde realmente a la pregunta que usted ha formulado realmente, que es si tales construcciones "libres" en el mundo del enriquecimiento de AbGp ya conservar la presencia de sumas directas, sin necesidad de que sean Cauchy-completas. Supongo que en general no lo hacen, pero no tengo un contraejemplo.

Answer 3

Mi comprensión de su pregunta es diferente a la de Mike. No me he encontrado con un ejemplo en el que los Hom-sets sean monoides abelianos pero no grupos abelianos. Me interesaría ver cómo surge esto.

Voy a suponer que tus Hom-sets son grupos abelianos (o módulos sobre un anillo conmutativo) y que la composición es bilineal. Entonces puedes añadir (y restar) morfismos y quieres añadir objetos. Esto se puede hacer formalmente, basta con formar una nueva categoría con objetos listas finitas de objetos y los morfismos se escriben como matrices. Eso es todo; no hay ninguna condición en los Hom-módulos.

También es posible que quieras hacer la finalización idempotente. Entonces debes aplicar primero la construcción anterior y luego tomar la terminación idempotente. Esto será tanto aditivo como idempotente completo. Si lo haces al revés puede que no sea idempotente completo; intuitivamente, si $A$ es un álgebra $M_n(A)$ puede tener más idempotentes que $n\times n$ matrices diagonales con entradas en $A$ .