¿Existe una distinción generalmente aceptada entre decir "una operación en un conjunto" y "una operación en un conjunto"?

Question

Cuando aprendí por primera vez los axiomas (leyes) de un grupo, eran

1. Cierre
2. Asociatividad
3. Identidad
4. Inversa

https://mathworld.wolfram.com/Group.html

He observado que muchos autores omiten el cierre axioma. En particular BBFSK IB-1.2.1 (página 111) dicen que la operación de grupo se define en el conjunto. ¿La expresión: Un conjunto junto con una operación definen en él ... ¿significa específicamente que la operación tiene valores en el conjunto? Es decir, ¿el uso de en él ¿implica un cierre? Por el contrario, ¿la expresión Un conjunto junto con una operación definen en él ... ¿sugiere la posibilidad de que la operación tenga valores que no están en el conjunto?

Observa que Mathworld dice:

La operación con respecto a la cual se define un grupo suele llamarse "operación de grupo", y se dice que un conjunto es un grupo "bajo" esta operación.

¿El uso del término "bajo" implica la posibilidad de que la operación mi tenga valores que no están en el conjunto?

Un ejemplo que me viene a la mente en el que se puede querer distinguir entre una operación en un conjunto, frente a una operación sobre un conjunto es la distinción entre la suma de vectores, que tiene argumentos y valores en el mismo espacio vectorial, mientras que el producto interior tiene valores en el campo escalar sobre el que se define el espacio vectorial. Así, la suma de vectores se definiría como en el espacio vectorial, y el producto interior es una operación en el espacio vectorial.

Esta es una distinción que he notado, pero que nunca he visto explícitamente formalizada.

Answer 1

Normalmente, la operación binaria se define $\cdot\,:G\times G\to G$ en cuyo caso el cierre es inherente a la definición y no es necesario incluirlo específicamente.

Normalmente diría que un conjunto con una operación binaria en o bien formularios un grupo, o es un grupo con respecto a la operación. Nunca he oído a nadie referirse a una operación en un conjunto antes de esta traducción, como Mark S. en el comentario, y sospecho que es un error de traducción más que otra cosa. Yo afirmaría que no habría ninguna dinstinción matemática entre ellos.

El uso del término bajo es para significar que el conjunto no necesita formar un grupo bajo una operación diferente.