$L$ -submódulos del álgebra envolvente universal de $L$

Question

Dejemos que $L$ sea un álgebra de Lie de dimensión finita y $U(L)$ sea su álgebra envolvente universal. Para cada $x\in L$ , defina $ad_x:U(L)\rightarrow U(L)$ por $ad_x(t)=xt-tx$ para $t\in U(L)$ . A continuación, un ejercicio de álgebra de Lie de Humphreys:

Demostrar que cada $t\in U(L)$ se encuentra en una dimensión finita $L$ -submódulo de $U(L)$ .

Mi justificación: Fijar una base $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ de $L$ .

Por ejemplo, si $t$ es un monomio de grado $2$ , digamos que $t=x_{i_1}x_{i_2}$ entonces $ad_{x_j}(t)=x_j(x_{i_1}x_{i_2})-(x_{i_1}x_{i_2})x_j$ . Esto se puede escribir como $$x_j(x_{i_1}x_{i_2})-x_{i_1}x_jx_{i_2} + x_{i_1}x_jx_{i_2}-x_{i_1}x_{i_2}x_j=[x_{j},x_{i_1}]x_{i_2} + x_{i_1}[x_{j},x_{i_2}]$$ y esta expresión es de nuevo una combinación de monomios de grado $\le 2$ . Así que el resultado es - podemos, en general, decir de manera similar:

El subespacio de $U(L)$ que consiste en todos los monomios en $x_1,x_2,\ldots,x_n$ de grado $\le k$ es $L$ -submódulo de $U(L)$ .

Q. Es el último afirmación ¿correcto?

Answer 1

Como el OP no dijo sobre qué campo está definida el álgebra de Lie, dejé $F$ sea el campo base. Por el Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW) Cada uno de ellos $t\in U(L)$ puede escribirse como una combinación lineal $$\sum_{\alpha}c_\alpha x^\alpha$$ donde $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ recorre todos los multiíndices con $\alpha_i\in\mathbb{N}_0$ , $c_\alpha \in F$ es distinto de cero sólo para un número finito de valores de $\alpha$ y $x^\alpha$ denota $$x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}.$$ El máximo de $|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n$ entre los términos no nulos $x^\alpha$ que aparecen en $t$ se llama grado de $t$ , siempre y cuando $t\neq 0$ . (Se puede definir el grado de $0$ para ser $0$ , $-1$ o $-\infty$ pero no es importante).

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\operatorname{ad}_{x_j}:U(L)\to U(L)$ no aumenta el grado de $t$ (esto requiere un poco de trabajo para verificar, pero no es demasiado difícil). Por lo tanto, $\operatorname{ad}_{x_j}(t)$ se encuentra dentro de $U(L,d)$ si $U(L,d)$ es el subespacio de $U(L)$ formado por todos los polinomios PBW de grado máximo $d$ . En consecuencia, el $L$ -submódulo $M_t$ de $U(L)$ generado por $t$ es un subespacio de $U(L,d)$ . Sin embargo, $$\dim U(L,d)=\#\big\{\alpha:|\alpha|\leq d\big\}=\binom{n+d}{n}.$$ Por lo tanto, $$\dim M_t\leq \binom{n+d}{n}<\infty.$$

He aquí cómo demostrarlo $\operatorname{ad}_x$ no aumenta el grado. En primer lugar, demuestre que $$\operatorname{ad}_x(y_1y_2\cdots y_d)=\sum_{i=1}^dy_1y_2\cdots y_{i-1}\operatorname{ad}_x(y_i)y_{i+1}y_{i+2}\cdots y_d.$$ Si $y_1,y_2,\ldots,y_d$ son de grado como máximo $1$ , entonces verifique que $\operatorname{ad}_x(y_i)$ es de grado como máximo $1$ para cada $i$ . Así que, efectivamente, $U(L,d)$ es un $L$ -submódulo de $U(L)$ .