Problema del polinomio de Legendre (¡ayuda!)

Question

El problema: Demuestra que $P^{'}_{2n+1}(0)= \frac{(-1)^n (2n+1){^{2n}}C_n}{2^n}$ .

Mi intento: Dada: $P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{\frac{1}{2}n}(-1)^{k} {{^n}}C_k{^{2n-2k}C_n}x^{n-2k}$

Dejemos que $n = 2n+1$ . Tenemos $P_{2n+1}(x)=\frac{1}{2^{2n+1}}\sum_{k=0}^{{n}+\frac{1}{2}}(-1)^{k} {{^{2n+1}}}C_k{^{2(2n+1)-2k}C_{2n+1}}x^{2n+1-2k}$

Ahora, dejemos que $k=n$ .

$P_{2n+1}(x)=\frac{1}{2^{2n+1}}\sum_{n=0}^{{n}+\frac{1}{2}}(-1)^{n} {{^{2n+1}}}C_n{^{2(2n+1)-2n}C_{2n+1}}x^{2n+1-2n}$

$P_{2n+1}(x)=\frac{1}{2^{2n+1}}\sum_{n=0}^{{n}+\frac{1}{2}}(-1)^{n} {{^{2n+1}}}C_n{^{2n+2}C_{2n+1}}x^{1}$

$P_{2n+1}^{'}(x)=\frac{1}{2^{2n+1}}\sum_{n=0}^{{n}+\frac{1}{2}}(-1)^{n} {{^{2n+1}}}C_n{^{2n+2}C_{2n+1}}$

Al simplificar, tenemos

$P^{'}_{2n+1}(0)= \frac{(-1)^n (2n+1){^{2n}}C_n}{2^{2n}}$

Este resultado es diferente al dado. Me he perdido algo, ¡por favor, ayuda!

Answer 1

Tu resultado es correcto aunque es difícil leer la derivación: Le sugiero encarecidamente que utilice la notación del coeficiente binomial $\binom{a}{b}$ en lugar de $^aC_b$ . Mi propia derivación es la siguiente: La relación de recurrencia $$(x^2-1)P_n'=n(xP_n-P_{n-1})$$ implica que $$P_n'(0)=nP_{n-1}(0)$$ por lo que queda encontrar el valor de $P_n(0)$ . Como $$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}^2(x+1)^{n-j}(x-1)^j$$ deducimos que $$P_n(0)=\frac{1}{2^n}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}^2(-1)^j$$ Ahora bien, desde el hecho de que $(1-x)^m(1+x)^m=(1-x^2)^m$ , igualando los coeficientes de $x^m$ se deduce que $$ \begin{equation} \sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}^2(-1)^j=\sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}(-1)^j\binom{m}{m-j}\cdot (+1)^j= \begin{cases}0 &\text{if m is odd}\\ \binom{m}{m/2}(-1)^{m/2} & \text{if m is even} \end{cases} \end{equation}$$ Y así $$P_{2n+1}'(0)=(2n+1)P_{2n}(0)=\frac{2n+1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}(-1)^n$$