Función de densidad normal estándar

Question

Por favor, ayúdenme a resolver este problema:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias normales independientes, y que $Z$ tienen una función de densidad arbitraria, y la forma $Q = \frac{X + YZ}{\sqrt{1+ Z^2}}$ . Demostrar que $Q$ también tiene una función de densidad normal estándar.

Que tú

Answer 1

Pista: Para cada número real $u$ en $(0,1)$ la variable aleatoria $Xu+Y\sqrt{1-u^2}$ es normal estándar. Por lo tanto, para cada $(0,1)$ variable aleatoria valorada $U$ independiente de $(X,Y)$ la variable aleatoria $XU+Y\sqrt{1-U^2}$ es normal estándar. Use esto para $U=1/\sqrt{1+Z^2}$ .