El término "gran cardenal" no tiene una definición acordada y concreta . Cuando decimos que $\kappa$ es un gran cardenal podríamos decir que $\kappa$ es inaccesible y tiene propiedades adicionales; o podríamos querer decir que tiene propiedades que implican la consistencia de los cardinales grandes.
Algunas personas se refieren a las primeras como grandes cardenales, y a las segundas como "grandes propiedades cardinales".
Si estamos de acuerdo con esa convención, entonces todo cardinal grande es un cardinal débilmente inaccesible al menos, lo que significa que es un $\aleph$ -punto fijo. A saber: $\kappa=\aleph_\kappa$ (y de hecho, es el límite de los puntos fijos, y los límites de los límites de los puntos fijos, etc.).
En cuanto a su segunda pregunta, $\aleph_{\omega_1^{CK}}$ sólo tiene un número contable de $\aleph$ debajo de ella. Eso es sólo una pequeña fracción de los cardenales que encontrarás debajo de la primero $\aleph$ punto fijo. Si $\kappa$ es inaccesible entonces es el $\kappa$ -ésimo punto fijo, lo que significa que es insondablemente más grande.
Permítanme añadir una observación al margen, $\sf GCH$ tiene poco que ver con esto. Un cardenal fuertemente inaccesible es también un $\beth$ punto fijo (con propiedades similares a las comentadas anteriormente), donde $\beth$ los números se definen utilizando la operación de conjunto de potencias, en lugar de los cardinales sucesores.
Añadido:
Puede ser un poco engañoso pensar que ser un gran cardenal consiste en tener un gran índice como $\aleph$ número. Ser un cardinal grande significa tener algunas propiedades combinatorias que permiten demostrar más. Los sucesores de los grandes cardinales no son "grandes" en sí mismos, porque en $\sf ZFC$ Los cardenales sucesores no poseen el requisito básico de un gran cardenal, ser un cardenal de límite regular.
