Interpolación Fórmula de diferencia directa de Newton
Dejemos que $y=f(x)$ sea una función que toma valores $f(x_0),f(x_0+h),\cdots$ correspondientes a varios valores equiespaciados de $x$ con espacio $h$ , digamos que $x_0,x_0+h,\cdots$
Supongamos que queremos evaluar la función $f(x)$ para un valor $x_0+ph$ , donde $p$ es cualquier número real, entonces para cualquier número real $p$ tenemos el operador $E$ tal que \begin{align} E^pf(x)&=f(x+ph)\\ f(x_0+ph)=E^pf(x_0)&=(1+\Delta)^pf(x_0)\\ &=\left[1+p\Delta+\frac{p(p-1)}{2!}\Delta^2+\cdots \right]f(x_0) \end{align} $$f(x_0+ph)=f(x_0)+p\Delta f(x_0)+\frac{p(p-1)}{2!}\Delta^2 f(x_0)+\cdots+\frac{p(p-1)(p-2)\cdots(p-n+1)}{n!}\Delta^n f(x_0)+\text{Error}$$Interpolación Fórmula de diferencia hacia atrás de Newton
Dejemos que $y=f(x)$ sea una función que toma valores $f(x_n),f(x_n-h),\cdots$ correspondientes a varios valores equiespaciados de $x$ con espacio $h$ , digamos que $x_n,x_n-h,\cdots$
Supongamos que queremos evaluar la función $f(x)$ para un valor $x_n+ph$ , donde $p$ es cualquier número real, entonces para cualquier número real $p$ tenemos el operador de desplazamiento $E$ tal que \begin{align} f(x_n+ph)=E^pf(x_n)=(E^{-1})^{-p}&=(1-\Delta)^{-p}f(x_n)\\ &=\left[1+p\Delta+\frac{p(p+1)}{2!}\Delta^2+\cdots \right]f(x_n) \end{align} $$f(x_n+ph)=f(x_n)+p\Delta f(x_n)+\frac{p(p-1)}{2!}\Delta^2 f(x_n)+\cdots+\frac{p(p+1)(p+2)\cdots(p+n-1)}{n!}\Delta^n f(x_n)+\text{Error}$$
Realmente tengo problemas con el operador de cambio mencionado en esta prueba. ¿Cómo funciona? $?$ Se agradecerá cualquier ayuda.
Gracias por adelantado.
