Si $\,\gcd (a,0)=1,\,$ qué puede $a$ ¿podría ser?

Question

Siento que un podría ser cualquier número, pero $0$ es divisible por cualquier número, por lo que no serán mutuamente excluyentes. No estoy seguro, tal vez esto no está relacionado, pero me confundió.

Answer 1

Corrección: Todos los enteros (todos los números, de hecho) dividen a cero. $$a\mid 0\, \text{ for all }\,a \in \mathbb R$$

$$\gcd(a, 0) = a\,\text{ for all }\, a \in \mathbb Z$$ Por lo tanto, si $\,\gcd(a, 0) = 1,\,$ qué debe $a$ ¿ser?

Answer 2

No estoy seguro de por qué se revivió esto. Pero es confuso. Mi consejo para quien esté confundido es que respire hondo y vuelva a las definiciones.

Algunos conceptos confusos que tienen sentido si se piensa en ellos, pero que al principio pueden parecer contraintuitivos:

1) Todo número es un divisor de $0$ .

Pf: Deja $n$ sea un número cualquiera. $n*0 = 0$ . Por lo tanto, existe un número entero $k$ (a saber $k = 0$ ) para que $n*k = 0$ . Esa es la definición de ser un divisor.

2) Si $n>0$ entonces el mayor divisor de $n$ es $n$ sí mismo.

Pf: Si $m > n > 0$ entonces $m*k > n*k \ge n$ si $k \ge 1$ . $m*k \le 0$ si $k \le 0$ . Así que no hay enteros $k$ para que $m*k = n$ . Así que nada más grande que $n$ puede ser un divisor de $n$ . Y como $n = n*1$ , $n$ es un divisor de $n$ . Así que $n$ es el mayor divisor de $n$ .

3) $m$ es un divisor de $n$ si y sólo si $-m$ es un divisor de $n$ si y sólo si $m$ es un divisor de $-n$ si y sólo si $-m$ es un divisor de $-n$ .

Pf: $m*k =n$ si y sólo si $(-m)*(-k) = n$ .... etc.

Esto significa que si $n \ne 0$ entonces $|n| \ge n$ y $|n|$ es el mayor divisor de $n$ .

4) $\gcd(0,0)$ es indefinido pero si $n \ne 0$ entonces $\gcd(0,n) = |n|$ .

Pf: Todos los números se dividen $0$ por lo que el mayor número que divide $0$ es indefinido. Así que $\gcd(0,0)$ .

Todos los números se dividen $0$ por lo que los divisores comunes de $0$ y $n$ son simplemente los divisores de $n$ . Y el mayor divisor de $n$ es $|n|$ .

......

Así pues, ....

Así que si $\gcd(a,0) =1$ entonces $\gcd(a,0) = |a| = 1$ y $a = \pm 1$ .

Oh... algunos conceptos más:

A)Todo número es un divisor de $0$ pero el cero no es un divisor de ningún número excepto $0$ .

B) Si $a \ne 0$ entonces $\gcd(1,a) = 1$ y $\gcd(a,a) = |a|$ .

Answer 3

Si $|a|>1$ entonces $|a|$ es un divisor común de $a$ y de $0$ Así que $\gcd (a,0)\geq |a|>1.$

Si $a=0$ entonces cada $n\in \mathbb N$ es un divisor de $a$ y de $0$ Así que $\gcd (a,0)$ no existe.

Si $a=\pm 1$ entonces el mayor divisor de $a$ es $1,$ y $1$ también divide $0$ Así que $\gcd(\pm 1,0)=1. $