El $k$ -Los puntos de una variedad son densos si y sólo si sus imágenes en la base cambian a $\overline k$ también lo son, ¿verdad?

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y que $V$ sea una variedad sobre $k$ (es decir, un tipo finito separado reducido $k$ -esquema).

Dejemos que $\overline V$ sea el cambio de base $V\times_k \overline k$ al cierre separable $\overline k$ de $k$ . Tenemos un mapa de producto de fibra canónico $\pi:\overline V\rightarrow V$ de $k$ -esquemas.

Como un conjunto de puntos, $V$ es el cociente de $\overline V$ por la acción del grupo absoluto de Galois $G = \operatorname{Gal}(\overline k / k)$ y $\pi$ es el mapa del cociente. Sea $x\in \overline V$ sea tal que $\pi(x)$ tiene un campo de residuos $k$ . Entonces la acción de Galois en los puntos de $\overline V$ fija $x$ para que $\pi$ (como mapa de conjuntos) es inyectiva cuando se restringe a dichos puntos. Así, $\pi^{-1}$ mapea una copia del $k$ -puntos de $V$ de nuevo en $\overline V$ y, con cierta imprecisión, podemos llamar a su imagen "la $k$ -puntos de $\overline V$ ."

(Como ejemplo, dejemos que $k=\mathbb{R}$ y que $V=\mathbb{A}^1$ . Entonces $\overline V$ es la línea compleja también conocida como el plano complejo, y el $\mathbb{R}$ -puntos son la línea real en el plano complejo).

Me parece que el $k$ -puntos son densos Zariski en $V$ si y sólo si el $k$ -puntos (en mi sentido) son Zariski densos en $\overline V$ . ¿Es esto cierto?

Una dirección está clara para mí. Si hay un subconjunto cerrado adecuado de $V$ , digamos que $W$ que contiene todos los $k$ -puntos, entonces $\pi^{-1}(W)$ es un subconjunto cerrado adecuado de $\overline V$ que contiene todos los $k$ -puntos. Así, si el $k$ -los puntos son densos en $\overline V$ son densos en $V$ .

La otra dirección también me parece seguramente cierta, pero el argumento es menos claro. Supongamos que $\overline W$ es un subconjunto cerrado adecuado de $\overline V$ que contiene todos los $k$ -puntos. Lo que quiero hacer es decir que la unión de sus conjugados bajo la acción de galois es también un subconjunto cerrado propio de $\overline V$ para que luego su imagen bajo $\pi$ es un subconjunto cerrado adecuado de $V$ que contiene todos los $k$ -puntos.

Creo que ya veo por qué hay que cerrarlo. Desde $\overline V$ es una variedad, tiene una cobertura finita por afines $\overline k$ -y en cada uno de ellos, $\overline W$ está dado por un ideal específico en el anillo de coordenadas, que está generado finitamente porque el tipo finito $\overline k$ -son noeterianos. Los generadores están contenidos en una extensión finita de $k$ por lo que sólo tienen un número finito de conjugados de galois. Conclusión: $\overline W$ sólo tiene un número finito de conjugados de galois, y la unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada.

Sin embargo, no veo por qué tiene que ser apropiado a menos que asuma $V$ es geométricamente irreducible. ¿Puede fallar el resultado reclamado si $V$ no es geométricamente irreducible?

Answer 1

En el argumento para la dirección de avance, tome la intersección de los conjugados de $\overline W$ en lugar de su unión. Esta intersección está contenida en $\overline W$ por lo que debe ser un subconjunto adecuado, no se necesita ninguna suposición adicional. Y seguirá siendo cerrado y contendrá los puntos fijos de la acción de Galois.