¿Por qué queremos que las probabilidades de ser *countably* aditivo?

Question

En la teoría de la probabilidad, es (según tengo entendido) universal para equiparar la "probabilidad" con un probabilística de la medida en el sentido de la teoría de la medida (posiblemente un particular portado bien medida, pero no importa). En particular, se da por $\sigma$-aditividad, pero no es nada más (es decir, de la suma con respecto a las familias con cardinalidad $\mathfrak{c}$ [que sería, por supuesto, hacer que las cosas se descomponen]).

Para mí, como un matemático, esto es completamente satisfactorio, y hasta hace poco casi ni me di cuenta de que no puede ser completamente obvio que la probabilidad debe comportarse así. Una suficientemente convincente justificación para trabajar con la adopción de las medidas que la integración de la teoría es preciosa, y queremos ser capaces de hacer uso de las integrales para calcular los valores esperados, las variaciones, los momentos y así sucesivamente. Y que no podemos exigir a cualquier "más fuerte" tipo de aditividad, desde entonces las cosas se deterioran ya con el uniforme de distribución aleatoria en $[0,1]$.

Sin embargo, recientemente he tenido algunas interacciones con los no-matemáticos, que se acercan de "alto" matemáticas con algunos comprensible incertidumbre, pero que todavía encontrar la noción de probabilidad relevante. Una de las cosas que me hizo darse cuenta de que no soy yo plenamente consciente de por qué, en principio, podríamos definir las cosas así y no de otra manera. Por lo tanto, después de este extralargo introducción, aquí está la pregunta. Hay una razón fundamental por la teoría de la medida es el "único camino correcto" para lidiar con las probabilidades (en contraposición a, por ejemplo, declarando probabilidades de ser sólo finitely aditivo)? Si es así, hay un "espectacular" el ejemplo que muestra por qué cualquier otro enfoque que no iba a funcionar? Si no, entonces hay un enfoque alternativo (con cualquier investigación detrás de él)?

Answer 1

Si usted está interesado en finitely aditivo de la teoría de la probabilidad, usted debe consultar las obras de Bruno de Finetti. El libro Cómo Apostar si Usted Debe: Desigualdades de Procesos Estocásticos por Lester Dubins y Leonard J. Savage se basa en aditividad finita. Voy a citar lo que dicen los autores acerca de esto en la sección 2.3 de que el clásico. No todo el mundo estará de acuerdo con su enfoque, pero es difícil argumentar que lo suyo no es un respetable punto de vista.

Una jugada es, por supuesto, una probabilidad de medida $\gamma$ en los subconjuntos de la fortuna. En la tradición de las últimas décadas, una medida que podría ser definido sólo en una sigma-campo de subconjuntos de a$F$, y que deban ser countably aditivo en la que sigma-campo.

Si esta tradición fueron seguidos en este libro, tedioso técnica de la mensurabilidad dificultades se plantean a la teoría desde el principio. (Para ver este tipo de dificultad potencial, formular matemáticamente el problema correspondiente a la de un jugador con un inicial de la fortuna $f$ que desea maximizar la probabilidad de que su fortuna al final de los dos juegos serán en un cierto subconjunto de la unidad de intervalo, donde para cada una de las $g$ en el intervalo no es un conjunto $\Gamma(g)$ de countably aditivo juega definido sólo en los subconjuntos de Borel el intervalo.) La experiencia y la reflexión nos han llevado a apartarse de la tradición y asumir que cada una de las $\gamma$ está definido para todos los subconjuntos de a $F$ y no es necesariamente countably aditivo. Esta desviación se explica y justifica en los siguientes párrafos.

La suposición de que $\gamma$ no está definida para todos los conjuntos sería, con todo, complican este capítulo; la restricción a countably aditivo juega debilitaría sus conclusiones. Algunos de los nuevos problemas que la finitely método aditivo introducen son de matemáticos de interés en sí mismos.

Cuando un juego se especifica en la práctica, incluso en la mayoría de los matemáticos de la práctica-la especificación de la frecuencia de definir el valor de la apuesta sólo en algunos subclase de la clase de todos los conjuntos, tal vez en un álgebra Booleana. Por ejemplo, puede especificarse que un cierto gamble coincide con la medida de Lebesgue para la Lebesgue-medible subconjuntos de la unidad de intervalo. Por lo tanto, es esencial para manejar problemas en los que las apuestas no están definidas para todos los subconjuntos de la fortuna. Una forma para hacer esto, sugerido por la tradición, es para llevar un concepto de medición y integrabilidad lo largo de la discusión, la exploración de la integrabilidad de funciones diversas que surgir como candidatos para la integración, y para discutir superior e inferior (o interior y exterior) de las integrales cuando nonintegrable funciones surgir.

Aparentemente equivalente y, nos encontramos, método mucho más sencillo de manejar los problemas donde las apuestas son definidas sólo en una subclase de conjuntos es considerar todas las extensiones de cada uno de los incompletamente definidos jugar a la clase de todos los conjuntos de la fortuna. De acuerdo a la de Hahn-Banach teorema de tales extensiones existen en abundancia, aunque en un muy no constructiva sentido. Si, por ejemplo, que el jugador a partir de \$1,000 can reach \$10,000 con una probabilidad de $.07$ en cada finalización de un originalmente incompletamente definidos problema, no es una interpretación sensata a lo de crédito con al menos esa cantidad en relación con el problema como originalmente especificado? Del mismo modo, si hay algo que no puede lograr (o enfoque), en virtud de cualquier extensión, que no debe ser considerado como un objetivo alcanzable en el problema original. Por último, si algo puede ser abordado por algunas de las extensiones, pero no para los demás, entonces el problema original debe de ser reconocido como no se especifican suficientemente para producir una respuesta definitiva.
. . .
De Finetti (1930, 1937, 1949, 1950, 1955, 1955a) ha insistido siempre en que los contables de la suma no es una parte integral de la probabilidad de concepto, pero es más bien en la naturaleza de una regularidad hipótesis; sus papeles (1949) y (1950) son más particularmente interesados en los aspectos conceptuales de esta pregunta que la de los otros citados; (1955) y (1955a) son matemáticos documentos acerca de aditividad finita. El contacto Personal con los de Finetti nos dio el coraje para romper con las tradicionales restricciones de contables de la suma y a la vista de countably aditivo medidas mucho como uno de los puntos de vista de la analítica de funciones, como particularmente importante en el caso especial.
. . .
Además de aquellos de interés principal de este libro, hay otras razones para realizar el estudio de finitely aditivo medidas. Para mencionar sólo a uno, a veces, la única medida natural no es countably aditivo. Un natural e intuitiva ejemplo de que aún no parecen estar en la literatura es este. Hay una y sólo una traducción-invariante probabilidad de medida definidos en el álgebra de boole generados por las progresiones aritméticas. En virtud de esta medida, el conjunto de $\{\dots,-2a,-a,0,a,2a,\dots\}$ es necesariamente asigna una probabilidad de $1/n$. Una obvia relación entre esta medida y la más conocida de la noción de la (a largo plazo), la densidad de un subconjunto de los números enteros es esta: La parte superior e inferior de las densidades de un conjunto entre la parte superior e inferior de las medidas. Nathan Fina nos ha dicho interesante número de la teoría de los hechos, aún no publicada, que han brotado de su estudio de la finalización de esta medida. Otro finitely aditivo medida, sugerido por de Finetti, es la que asigna a cada intervalo de números racionales la distancia entre sus extremos. Cualquier medida de probabilidad que asigna probabilidad de $1$ a algunos contables conjunto, pero la probabilidad $0$ a cada conjunto finito, se llama difusa.

Aquí están los de Finetti referencias:

de Finetti, Bruno, 1930. Sulla proprietà conglomerativa delle probabilità subordinado. Rendiconti dell'Istituto Lombardo 63 414-418.

de Finetti, Bruno, 1937. La prévision: ses lois logiques, ses fuentes subjectives. Annals de l'Institut Henri Poincaré 7 1-68.

de Finetti, Bruno, 1949. Sull'impostazione assiomatica del calcolo delle probabilità. Annali Triestini 19 29-81.

de Finetti, Bruno, 1950. Aggiunta alla nota sull''assiomatica della probabilità. Annali Triestini 20 [Serie 4, Volumen 4, segunda sección (ciencias e ingeniería)] 5-22.

de Finetti, Bruno, 1955. La struttura delle distribuzione en la onu insieme astratto qualsiasi. Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari 28 16-28.

de Finetti, Bruno, 1955a. Sulla teoria astratta della misura e dell'integrazione. Annale di matematica pura ed applicata (Serie IV) 40 307-319.

Answer 2

Terence Tao gratis libro sobre teoría de la medida pasa algún tiempo cerca del principio de desarrollo "Jordania medida", que es una especie de finitely-aditivo versión de la medida de Lebesgue.

Como él señala, que la teoría es sobre todo bien siempre y cuando uno pasa a trabajar sólo con las cosas que son medible Jordan. Sin embargo, como Tao demuestra en la Observación 1.2.8, hay incluso abrir conjuntos en la recta real que no medible Jordan. Del mismo modo, resulta que $[0,1]^2 \setminus \mathbb{Q}^2$ no es medible Jordan (Ejercicio 1.1.8).

En general, creo que el Tao de la presentación de la muestra, claramente, la similarites y diferencias entre Lebesgue y Jordania medida, aunque se necesita cierta madurez en matemáticas para leerlo, así que no podría ayudar a sus amigos.

---

Por separado, una razón distinta de la integración contable de la suma es importante es que muchos grupos de interés en la teoría de la probabilidad se $G_\delta$ o $F_\sigma$, y queremos que tales conjuntos medibles.

Para un ejemplo muy concreto, debe ser el caso de que un número real aleatorio comprendido en $[0,1]$ tiene infinidad de $3$s en su expansión decimal. Formalmente, esto significa que el conjunto de $U$ de irrationals en $[0,1]$ que tiene sólo un número finito de $3$s en su expansión decimal debe tener medida $0$. Ahora, para cada una de las $k$, el conjunto de irrationals en $[0,1]$ $k$ o más $3$s en su expansión decimal es abierto como un subconjunto de la irrationals. Así que el conjunto $U$$F_\sigma$$[0,1]\setminus \mathbb{Q}$, pero no es abierto o cerrado. Por lo tanto, si no tenemos contables aditividad de la medida, $U$ podría no ser medible.

Este fenómeno ocurre generalmente cuando hacemos uso de la categoría de Baire teorema de construir algún tipo de bienes; de este teorema, naturalmente, las construcciones de $G_\delta$ conjuntos, no se abre o conjuntos cerrados. El beneficio clave de contables aditividad es que una vez abierto intervalos son medibles, todos los conjuntos de Borel medibles (y, además, todos los analíticos conjuntos - imágenes continuas de los conjuntos de Borel - son Lebesgue medibles). Así que, a menos que realmente prueba, no es raro para la construcción de nonmeasurable conjuntos.