Demostrar que $\sum_{k=1}^{+\infty}a_k=\sum_{k=1}^{+\infty}\int_0^1\frac{\sin(kx)}{k^x}dx$ es divergente.

Question

Estoy luchando con la siguiente serie:

$$ \sum_{k=1}^{+\infty}a_k=\sum_{k=1}^{+\infty}\int_0^1\frac{\sin(kx)}{k^x}dx. $$

El término general $a_k$ está claramente bien definida para cada $k\geq1$ desde $\int_0^1\frac{\sin(kx)}{k^x}dx$ está bien definida para cada $k\geq1$ . Debería demostrar que esta serie es divergente.

Como segunda petición, debería demostrar que, por tanto, la serie de funciones $$ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(kx)}{k^x} $$ no converge uniformemente. Esto, dada la primera petición, es bastante claro ya que si esta serie de funciones fuera uniformemente convergente, entonces podríamos escribir

$$ \sum_{k=1}^{+\infty}\int_0^1\frac{\sin(kx)}{k^x}dx=\int_0^1\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(kx)}{k^x}dx=\int_0^1 S(x)dx<+\infty $$ desde $S(x)$ es continua en $[0,1]$ siendo el límite uniforme de una serie de funciones continuas sobre $[0,1]$ . ¿Cómo podría proceder con la primera solicitud?

Answer 1

Integrando dos veces por partes se obtiene \begin{align*} \int_0^1 {\frac{{\sin (kx)}}{{k^x }}dx} & = \frac{1}{k} - \frac{{\cos (k)}}{{k^2 }} - \frac{{\log k}}{k}\int_0^1 {\frac{{\cos (kx)}}{{k^x }}dx} \\ & = \frac{1}{k} - \frac{{\cos (k)}}{{k^2 }} - \frac{{\sin (k)\log k}}{{k^3 }} - \frac{{\log ^2 k}}{{k^2 }}\int_0^1 {\frac{{\sin (kx)}}{{k^x }}dx} , \end{align*} es decir, $$ \int_0^1 {\frac{{\sin (kx)}}{{k^x }}dx} = \left( {\frac{1}{k} - \frac{{\cos (k)}}{{k^2 }} - \frac{{\sin (k)\log k}}{{k^3 }}} \right)\frac{{k^2 }}{{k^2 + \log ^2 k}}. $$ En consecuencia, $$ \int_0^1 {\frac{{\sin (kx)}}{{k^x }}dx} \sim \frac{1}{k} $$ para grandes $k$ . La divergencia se desprende de la prueba de comparación de límites.