Consideremos un espacio vectorial topológico $X$ (no necesariamente normado ni metrizable ni nada). Su dual topológico es un conjunto bien definido de mapas lineales. Con esto, la topología débil se define como la topología más gruesa sobre $X$ de manera que todo el dual siga estando formado únicamente por formas lineales continuas. Es posible que la topología débil sea tan gruesa que $X$ dotado de su topología débil ya no es un espacio vectorial topológico?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La topología débil de la que habla es definido por los seminormales (indexados por $f \in X^*$ )
$$p_f : X \to [0, \infty), \ p_f (x) = |f(x)| .$$
En otras palabras, una red $(x_i)_{i \in I}$ converge en esta topología a $x$ si y sólo si
$$\lim \limits _{i \in I} |f (x_i) -f(x)| = 0 \; \forall f \in X^* .$$
Esta es la misma topología que mencionas en tu pregunta, pero describirla en términos de seminormas facilita mucho el trabajo.
Esta topología es necesariamente compatible con la estructura algebraica de $X$ Así que la respuesta a su pregunta es negativa.
