En 3D, reflejando $\pi$ sobre una línea es lo mismo que la reflexión sobre un plano seguida de una ampliación

Question

Supongamos que tengo una línea que pasa por el origen $L$ y un punto $P$ . Gira $P$ $\pi$ (rad) sobre $L$ equivale a reflejar $P$ en el plano que pasa por el origen al que $L$ es normal a un punto $P'$ luego se estira $P'$ factor de escala $-1$ (es decir $P'\rightarrow -P'$ ).

Esto es cierto y puede verificarse mediante métodos matriciales. Me gustaría saber si mi siguiente razonamiento geométrico es correcto. También estoy abierto a otras ideas (geométricas) para demostrarlo, pero si el mío es correcto no puedo imaginar nada mucho más sencillo. También me interesaría cualquier opinión sobre si algo de lo que digo, particularmente más allá de $x=y=d$ es redundante.

Dejemos que $Q$ sea el punto donde $PP'$ intercepta el plano $\Pi$ (que es como se ha descrito anteriormente). A continuación, $OQP'$ y $P''P'P$ son similares porque (por definición) $PQ=PP'$ y comparten un ángulo recto. Por lo tanto $x=y=d$ . Las reflexiones que realizamos son preservativas de la longitud, es decir $|OP|=|OP'|=|OP''|$ . Sea $S$ sea el punto donde $L$ se cruza con $PP''$ . Porque $x=y$ y $|OP|=|OP'|$ y $\angle OLP''=\angle OLP = \frac{\pi}{2}$ . los triángulos son congruentes y coplanares, es decir, se reflejan entre sí.

Answer 1

Su prueba parece buena.

Aquí hay otra, que puede ser más sencilla o no, dependiendo de qué conceptos geométricos sean primitivos: Dejemos que $\Pi_{1}$  sea el plano que contiene a $P$ y  $L$ y que $\Pi_{2}$  sea el plano que contiene a  $L$ y perpendicular a  $\Pi_{1}$ . Desde

• La composición de las reflexiones en planos perpendiculares es la media vuelta alrededor de su línea de intersección,
• El producto de las reflexiones en tres planos mutuamente perpendiculares a través de  $O$ es el escalado por  $-1$ ,

tenemos (dejando $\Pi$  también denotan la reflexión en el plano  $\Pi$ ) $$ P'' = -P' = \Pi_{1}\Pi_{2}\Pi P' = \Pi_{1}\Pi_{2} P. $$