$f(a)=b$ donde $a$ y $b$ son expresiones algebraicas de $x$

Question

¿Es posible escribir funciones de la forma $$f(a)=b$$ donde $a$ y $b$ son expresiones algebraicas de $x$ (por ejemplo $a=3x^2$ , $b=4x^5$ )?

La función de ejemplo sería: $$f(3x^2)=4x^5$$

1. ¿Existen estas funciones?
2. ¿Es posible reescribirlos en un formulario con $f(x)=...$ ?

Si esto es posible, ¿cómo puedo reescribirlos de forma $f(a)=b=f(x)=...$ ?

Answer 1

Si $a=a(x)$ y $b=b(x)$ , preguntas cuando podemos encontrar una función $f$ tal que $b=f(a)$ .

Esto es posible si y sólo si $a(x)=a(y)$ implica $b(x)=b(y)$ . En particular, si $a$ es una función uno a uno, entonces esto es posible.

Answer 2

Para su ejemplo, introduzca $x = 1$ para conseguir $f(3) = 4$ y enchufe $x = -1$ para conseguir $f(3) = -4$ . Esto es una contradicción, ya que $f(3)$ sólo puede tener un valor. Por lo tanto, ninguna función de este tipo $f$ existe.

Ahora, si $a$ es uno a uno, entonces $a^{-1}(y)$ está definida de forma única para todos los $y$ en el rango de $a$ . Entonces, $f(a(x)) = b(x) \leadsto f(a(a^{-1}(y))) = b(a^{-1}(y)) \leadsto f(y) = b(a^{-1}(y))$ para todos $y$ en el rango de $a$ .

Por lo tanto, si $a$ es uno a uno, podemos escribir $f(x) = b(a^{-1}(x))$ en la gama de $a$ pero no tenemos información sobre $f(x)$ para $x$ fuera del rango de $a$ .

Por ejemplo, supongamos que sabemos que $f(\cos x) = \cos 2x$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Desde $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ y $\cos x$ tiene una gama de $[-1,1]$ sabemos que $f(y) = 2y^2-1$ para todos $y \in [-1,1]$ pero no sabemos nada sobre $f$ en el exterior $[-1,1]$ . De hecho, podemos definir $f(y)$ arbitrariamente para $|y| > 1$ y $f(\cos x) = \cos 2x$ seguirá siendo cierto para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Answer 3

Sí. Por ejemplo, podríamos definir una función sobre los números racionales

$$ f(x/y) = \frac{x^2 - xy + 3y^2}{2x^2 + y^2}$$

siempre que $x$ es un número entero y $y$ es un número entero no nulo. Esta es una definición perfectamente buena de una función.

Sin embargo, hay dos problemas potenciales en las definiciones hechas de esta manera que no aparecen en la forma habitual de definir una función puntualmente:

¿Cada entrada tiene al menos una salida?

Si definimos $f(x^2) = x$ en los reales, nos encontramos con un problema: ¿qué es $f(-1)$ ? Si intentamos definir $f$ de esta manera, no es bien definido porque no hemos asignado valores de salida a las entradas que no pueden expresarse como $x^2$

¿Cada entrada tiene como máximo una salida?

Consideremos ahora la definición $f(x/y) = x + y$ en los racionales. Este $f$ no es bien definido porque

• $f(2/1) = 3$
• $f(4/2) = 6$

y así hemos asignado dos valores diferentes al valor de $f(2)$ , lo que no está permitido para una función.