Se necesitan conocimientos para el siguiente problema de Lagrange Multipler

Question

Encuentra el punto del paraboloide $z = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25}$ que está más cerca del punto $(3, 0, 0)$ .

Así que esto parece una pregunta bastante estándar del multiplicador de Lagrange, excepto que me encontré con algunos problemas, pero no puedo averiguar dónde me equivoqué.

Intento:

Yo maximizo $D^2$ en lugar de D para eliminar la raíz cuadrada

1.) Ecuación de restricción : $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} - z$

2.) $D^2 = (x-3)^2 + y^2 + z^2$

3.) Realice el procedimiento habitual de Lagrange

4.) $2z = -\lambda \\ 25y = \lambda y \\4(x-3) = \lambda x$

5.) Supongamos que $x \neq 0, y\neq0$ obtenemos $z = -\frac{25}{2}$

6.) Aquí es donde me he quedado atascado, ¿cómo puede ser z negativo donde es la suma de 2 números positivos?

¿En qué parte de mi intento cometí un error y cómo lo rectifico? Cualquier idea y ayuda se agradece profundamente.

Answer 1

Si $y=0$ entonces $z = \frac{x^2}{4}$ así que $\lambda = -\frac{x^2}{2}$

así que $$ 4(x-3) = -\frac{x^3}{2} \\ \implies x^3+8x-24 = 0 \\ \implies(x-2)(x^2+2x+12)=0$$

así que su solución es el punto $(2,0,1)$

Answer 2

Usted quiere minimizar $$F=(x-3)^2+y^2+z^2+\lambda \left(\frac{x^2}4+\frac{y^2}{25}-z\right)$$ Así que $$F'_x=\frac{\lambda x}{2}+2 (x-3)=0$$ $$F'_y=\frac{2 \lambda y}{25}+2 y=0$$ $$F'_z=2 z-\lambda=0$$ $$F'_\lambda=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}-z=0$$ Eliminación de $x,y,z$ de las primeras derivadas conduce a $x=\frac{12}{\lambda +4}$ , $y=0$ , $z=\frac{\lambda }{2}$ .

Introduciendo estas expresiones $F'_\lambda$ lleva a $$\frac{36}{(\lambda +4)^2}-\frac{\lambda }{2}=0$$ es decir $$\lambda ^3+8 \lambda ^2+16 \lambda -72=0$$ $\lambda=2$ es una raíz obvia por la inspección. Así que, $$\lambda ^3+8 \lambda ^2+16 \lambda -72=(\lambda-2)(\lambda ^2+10 \lambda +36)=0$$ y la cuadrática no muestra ninguna solución real.

Así que, $\lambda=2$ , $x=2$ , $y=0$ , $z=1$ que hace que $D^2=2$ .