Demostrando la sorprendente límite: $\lim\limits_{n \to 0} \frac{x^{n}-y^{n}}{n}$ $=$ el registro$\frac{x}{y}$

Question

Hace un par de meses, mientras que en la escuela, mi compañero de clase me preguntó esta pregunta curiosa: ¿Qué $\frac{x^{n}-y^{n}}{n}$ tienden a $n$ tiende a $0$? Pensé por un par de minutos, se impacientó y le preguntó "¿Qué?" Su respuesta, el registro$\frac{x}{y}$, fue sorprendente, pero su supuesta "prueba" era más sorprendente:

Considere la posibilidad de $\lim\limits_{n \to 0}\,\int_y^x t^{n-1}\, dt$. "Empujar el límite en la integral definida", tenemos $$\int_y^x \lim\limits_{n \to 0}\,t^{n-1}\, dt \implies \int_y^x \frac{1}{t}\, dt \implies \mathsf{log} \frac{x}{y}$$

Dejando el hecho de que él tuvo la inspiración para tirar de esta integral de la nada a un lado, es el límite permitido para pasar a la integral definida? No habíamos aprendido Análisis Real (estábamos tomando un básico de la escuela secundaria, de la mano ondulado de una sola variable curso de cálculo), y recuerdo que me sentía muy incómodo acerca de la brujería. Todavía lo estoy, por lo tanto, esta pregunta.

He puesto que el pensamiento acerca de la aproximación es el uso de $\mathsf{L'Hospital}$, pero todavía me siento incómodo, ya que implica la diferenciación con respecto a diferentes variables, que es un poco confuso. También le agradezco su ayuda en este sentido.

Si usted tiene una mejor prueba, voy a apreciar de verdad.

Answer 1

Mediante el uso de L'Hospital de la regla que hemos \begin{align*} \lim_{n\to 0}\frac{x^n-y^n}{n}&=\lim_{n\to 0}\frac{x^n\log x-y^n\log y}{1}\\ &=\log x-\log y\\&=\log\frac{x}{y} \end{align*}

Answer 2

Ver aquí: ¿Puede un límite de un integrante del ser movido dentro de la integral?

En general, pasando el límite bajo de la integral no es válido. En esta circunstancia, sin embargo, es válido, ya que las funciones converge uniformemente en un intervalo finito. Convergencia uniforme significa lo siguiente: si dejamos $M_n = \max\limits_{y\le t\le x}{|t^{n-1}-t^{-1}|}$ ser la máxima diferencia de $t^{n-1}$$t^{-1}$,$\lim\limits_{n\rightarrow 0}{M_n} = 0$. Puede comprobar que la convergencia uniforme se sostiene aquí, así que por una norma (y bastante fácil de probar) teorema de análisis, pasando el límite bajo de la integral es justificado.

Answer 3

Sugerencia: $$ \begin{align} \lim_{n\to0}\frac{x^n-1}{n} &=\log(x)\lim_{n\to0}\frac{e^{n\log(x)}-1}{n\log(x)}\\ &=\log(x)\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}u\\[6pt] &=\log(x) \end{align} $$ Restar

Answer 4

Deje $t = x/y$ y el aviso de que \begin{align*} \lim_{n \to 0} \frac{x^n - y^n}{n} &= \lim_{n \to 0} y^n \frac{t^n - 1}{n} \\ &= \left(\lim_{n \to 0} y^n\right) \left(\lim_{n \to 0} \frac{t^n - 1}{n}\right) \\ &= 1 \cdot \frac{d}{dn}\Big|_{n = 0} t^n \\ &= \ln t = \ln \frac x y \end{align*}

como se desee.

Answer 5

\begin{align} \lim_{n\to0}\frac{x^n-y^n}{n}&=\lim_{n\to0}\frac{e^{n\cdot \ln x}-e^{0\cdot \ln x}-(e^{n\cdot \ln y}-e^{0\cdot \ln y})}{n}\\ &=\left(e^{n\cdot \ln x}\right)'|_{n=0}-\left(e^{n\cdot \ln y}\right)'|_{n=0}\\ &=\ln x - \ln y \end{align}