Supongamos que $Y$ es una hipersuperficie lisa en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$ , $X = \mathbb{P}^n - Y$ es el complemento de la hipersuperficie. ¿Existe un método general para calcular la cohomología de $X$ ? En particular, para n pequeños, ¿hay algún ejemplo o referencia?
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Esto es muy computable, utilizando varios métodos. Asumo que está sobre $\mathbb{C}$ y que por cohomología te refieres a la cohomología singular, pero otras opciones también son igual de sencillas. Dejemos que $P=\mathbb{P}^n$ . Entonces por la secuencia de Gysin $$ \ldots H^i(P)\to H^i(X)\to H^{i-1}(Y)\to H^{i+1}(P)\ldots $$ se puede reducir básicamente al cálculo de $H^i(P)$ que es estándar, y $H^i(Y)$ . Existen varias fórmulas explícitas para esto último. Véase, por ejemplo, http://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/book-chap17.pdf
Notas : El mapa de conexión $H^{i-1}(Y)\to H^{i+1}(P)$ es el mapa de Gysin, que es dual de Poincaré a la restricción $H^{2n-i-1}(P)\to H^{2n-i-1}(Y)$ . Alternativamente, elija un barrio tubular $Y\subset T\subset P$ y identificar $$H^{i-1}(Y)= H^{i-1}(T) = H^i(T,\partial T)=H^{i}(P,X)$$ por escisión y el isomorfismo de Thom. Entonces este es el mapa de conexión habitual, y la es una secuencia exacta larga para el par $(P,X)$ . Hay otras formas de entender esto también.
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Griffiths (Sobre los períodos de ciertas integrales racionales. I, II. Ann. of Math. 90 (1969), 460-495 & 90 (1969), 496-541.) dio un procedimiento para calcular los números de Hodge de Y. Sea $S=\mathbf{C}[x_0,\dots,x_n]$ , dejemos que $f$ sea una ecuación para $Y$ y $d$ sea su grado. Sea $J_f$ sea el ideal jacobiano de $f$ es decir, el ideal generado por las derivadas parciales de $f$ . Entonces $$ h^{i,n-1-i}(Y)=\delta_{i,n-1-i}+\dim (S/J_f)_{id-n-1}.$$ Los demás números de Hodge pueden obtenerse a partir de los teoremas del hiperplano: es decir, si $p+q\neq n-1$ entonces $h^{p,q}(Y)=1$ si y sólo si $0\leq p=q\leq n-1$ se mantiene. Todos los demás números de Hodge son cero.
Aquí, $\delta_{i,j}$ es el delta de Kronecker, $S$ tiene una graduación natural, $J_f$ es generada por elementos homogéneos y por lo tanto $S/J_f$ es un anillo graduado. $(S/J_f)_k$ significa todos los elementos de grado $k$ .
La fórmula anterior puede generalizarse, véase, por ejemplo, Steenbrink (Intersection form for quasi-homogeneous singularities. Compositio Math. 34 (1977), 211-223) para espacios proyectivos ponderados de Dimca (Betti numbers of hypersurfaces and defects of linear systems. Duke Math. J. 60 (1990), 285-298) para hipersuperficies con singularidades homogéneas ponderadas aisladas.
