¿Teorema fundamental del cálculo?

Question

Derivado de $\frac{x}{1-x}$ es $\frac{1}{(1-x)^2}$ mientras que la integral de $\frac{1}{(1-x)^2}$ no es $\frac{x}{1-x}$ ¡! ¿No se viola el teorema fundamental del cálculo?

Answer 1

Creo que tu duda es que consigues $\dfrac 1{1-x}$ pero no $\dfrac x{1-x}$ .
De hecho, sólo se diferencian por una constante:

$\;\;\dfrac 1{1-x}+C'$

$=\dfrac 1{1-x}-1+C$ (C' y C son sólo constantes arbitrarias)

$=\dfrac x{1-x}+C$

por lo que ambas respuestas son correctas. Simplemente son presentaciones diferentes de la misma familia de funciones.