Estoy interesado en conocer algunas aplicaciones de la aproximación del mayor valor propio de una matriz grande utilizando métodos como el método de la potencia y el método de Lanczos y la iteración de Arnoldi... en dominios como el aprendizaje automático y las ciencias. ¿Cuáles son algunos ejemplos? He pensado en una aplicación que es aproximar el número de condición de una matriz grande. Sin embargo, para la ingeniería y las ciencias no tengo ni idea de cuándo se utilizan y como estudiante de matemáticas aplicadas tengo curiosidad por conocer estas aplicaciones.
Respuesta
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El valor propio dominante determina la tasa de crecimiento máxima en la norma de un vector cuando se le aplica el operador. Así que si su mayor valor propio es $M$ para una matriz $A$ , entonces se sabe que para todos los vectores $v$ ,
$$\|Av\|\leq M\|v\|$$
con igualdad si $v$ está en el eigespacio para uno de los valores propios de norma máxima. Esto, obviamente, nos ayuda a acotar el posible crecimiento, así como a saber en qué dirección crecen las cosas.
Una aplicación interesante que conozco fue en la secuencia "mira y di" de Conway, en la que se toma una $92\times 92$ matriz, encuentra un subespacio invariante de 21 dimensiones donde los valores propios son todos de norma 1 (por lo que en esa zona no crece), y luego en el resto $71\times 71$ matriz se obtiene el valor propio dominante es la Constante Cosmológica de Conway.
