Encontrar las soluciones de equilibrio de una ecuación logística

Question

Dada una ecuación logística $$dy/dt = r(1 y/K)y Ey$$

(a) Demuestre que si $E < r$ entonces hay dos puntos de equilibrio, $y_{1} = 0$ y $y_{2} = K(1 E/r) > 0$ . (b) Demuestre que $y = y_{1}$ es inestable y $y = y_{2}$ es asintóticamente estable.

Lo que he probado, la equiparación $dy/dt=0$ la ecuación se convierte en $$r(1 y/K)y Ey=0$$ . Tomando el carácter común $y$ fuera, tengo $y=0$ que corresponde a $y_{1}$ mientras que la segunda parte se convierte en $$r(1 y/K) E=0$$ y luego resolver para $y$ Tengo $$y=1-(Ek/r)=0$$ . Pero eso no parece ser similar a $y_{2}$ . Puede que me haya perdido algo. Alguien podría explicarme, por favor. Gracias

Answer 1

Para la parte $a.$ sólo tienes un pequeño problema de álgebra.

$$r(1 − y/K) − E=0 \implies (1-y/K) = E/r \implies y/K = (1-E/r) \implies y = K(1-E/r)$$

También hay que tener en cuenta que $E \lt r$ (y $K \gt 0$ ), $y_2 \gt 0$ .

Para la parte $b.$ , puede dibujar el trazado del campo de dirección o la línea de fase utilizando el campo de la pendiente.

Actualización

Al dibujar el campo de dirección, deberías terminar con algo parecido:

Se podría observar la pendiente (positiva o negativa) para varios valores de $y$ y determinar las direcciones.

En este caso, se ve el $y_1$ es inestable y $y_2$ es asintóticamente estable.

Te recomiendo que también lo hagas para la línea de fase, ya que es bastante instructivo.